普朗克長度計算器
輸入約化普朗克常數、重力常數與光速，計算普朗克長度、時間、質量與能量。l_P≈1.616×10⁻³⁵ m。
輸入資料
計算結果
重點速覽：普朗克單位制（Planck units, Max Planck 1899 由量維分析提出）：以三個基本物理常數——約化普朗克常數 ħ（量子）、重力常數 G（重力）、光速 c（相對論）——組合出自然單位。普朗克長度 l_P=√(ħG/c³)≈1.616×10⁻³⁵ m（最短可測長度，短於此量子漲落主導，時空失去意義）。普朗克時間 t_P=l_P/c=√(ħG/c⁵)≈5.391×10⁻⁴⁴ s（最短時間間隔，大爆炸後此時刻宇宙為量子引力態）。普朗克質量 m_P=√(ħc/G)≈2.176×10⁻⁸ kg≈21.8 μg（量子與重力效應相當的質量尺度）。普朗克能量 E_P=m_P·c²≈1.956×10⁹ J≈1.22×10¹⁹ GeV。歷史：Planck 1899 在黑體輻射研究中提出自然單位制；後發現此尺度為量子引力特徵。意義：普朗克尺度以下經典廣義相對論失效，需量子引力理論；大型強子對撞機 LHC 1e4 GeV 遠低於 E_P，故無法直接探測。應用：(1) 量子引力理論建構；(2) 宇宙學早期宇宙模型（普朗克時代 t<1e-43 s）；(3) 量維分析物理量；(4) 黑洞蒸發（Bekenstein 熵 S=A/(4l_P²)）；(5) 弦論（弦長 ~l_P）。
計算公式
普朗克長度：l_P = √(ħG/c³)
普朗克時間：t_P = l_P/c = √(ħG/c⁵)
普朗克質量：m_P = √(ħc/G)
普朗克能量：E_P = m_P·c²
Bekenstein 熵：S = A / (4·l_P²)
$$l_P = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^3}}, \quad t_P = \frac{l_P}{c} = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^5}}, \quad m_P = \sqrt{\frac{\hbar c}{G}}, \quad E_P = m_P c^2$$使用說明
- 輸入約化普朗克常數 ħ（J·s，1.0546e-34）。
- 輸入重力常數 G（m³/(kg·s²)，6.6743e-11）。
- 輸入光速 c（m/s，2.998e8）。
- 系統計算 l_P、t_P、m_P、E_P。
普朗克單位與日常尺度對比
| 量 | 普朗克值 | 比較 |
|---|---|---|
| 長度 | 1.616e-35 m | 質子半徑的 1e-20 |
| 時間 | 5.391e-44 s | 可測最短的 1e-26 |
| 質量 | 2.176e-8 kg | 一塵蟎 |
| 能量 | 1.956e9 J | LHC 1e15 倍 |
| 溫度 | 1.417e32 K | 太陽核心 1e25 倍 |
普朗克尺度為量子引力特徵。能量普朗克尺度 1e19 GeV 遠超人類對撞機（LHC 1e4 GeV），故量子引力難直接實驗。
理財情境案例
早期宇宙普朗克時代
大爆炸後 t<1e-43 s 為普朗克時代，宇宙尺度<l_P，量子漲落主導，經典廣義相對論失效。
此時期溫度>1e32 K、能量>1e19 GeV，需量子引力理論描述。暴脹理論可能始於 t≈1e-36 s。
宇宙微波背景的漲落譜（COBE、WMAP、Planck 衛星測量）間接反映早期物理，但普朗克時代本身不可直接觀測。
黑洞熵與普朗克面積
Bekenstein-Hawking 熵 S=k·A/(4·l_P²)，黑洞熵正比於事件視界面積（以普朗克面積 l_P² 為單位）。
此式為量子重力重要線索：熵=微觀自由度對數，暗示時空有離散結構（資訊儲存於普朗克格點）。
黑洞蒸發溫度 T=ħc³/(8πGM·k_B)≈6e-8 K（太陽質量），霍金輻射。此聯繫 ħ、G、c，故普朗克尺度為量子重力關鍵。
常見問題
為什麼普朗克長度是最短長度？
測量長度需能量：為測 l，需波長 λ≤l 的光子，能量 E=hc/λ≥hc/l_P。但能量集中在 l_P 範圍內將形成黑洞（Schwarzschild 半徑 r_s=2GM/c²=2GE/c⁴）。當 E 使 r_s=l_P 時（黑洞大小與測量尺度相當），無法再測更小——測試本身塌陷為黑洞。故 l_P 是可測長度下限。
為什麼普朗克質量這麼小？
m_P=√(ħc/G)≈21.8 μg，比質子（1.67e-27 kg）大 1e19 倍。它代表量子效應（ħ）與重力效應（G）相當的質量尺度。電子質量遠小故重力可忽略；但 m_P 的粒子其康普頓波長=史瓦茲希爾德半徑，量子重力不可忽略。能量尺度 E_P=m_Pc²≈1e19 GeV 為大統一尺度。
人類能達到普朗克能量嗎？
不能。E_P≈1.22×10¹⁹ GeV，LHC 最高 1.4×10⁴ GeV，相差 1e15 倍。建造能達 E_P 的加速器需銀河系尺度。故量子重力只能通過宇宙學（早期宇宙、黑洞）與理論推斷間接研究，無法地面實驗直接驗證。弦論也因缺乏可測預言面臨挑戰。
普朗克單位制有何優點？
純由自然常數定義，無人為（米、秒、千克）依賴。在此單位制中 ħ=c=G=1，公式極簡。物理學家計算量子重力、宇宙學常用自然單位。缺點：日常尺度數值不直觀。
普朗克長度下時空是離散的嗎？
未知。迴圈量子重力預言面積與體積量子化（最小面積 ~l_P²），但弦論預言連續但有額外維度。實驗無法直接驗證。若時空離散，遠距光子色散可能觀測到——伽瑪射線爆發延遲實驗（Fermi 衛星）迄今未見，已排除部分模型。普朗克尺度物理為未解之謎。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。l_P=√(ħG/c³)≈1.616e-35 m。Planck 1899。t_P≈5.391e-44 s、m_P≈2.176e-8 kg、E_P≈1.956e9 J。量子重力尺度。Bekenstein 熵 S=A/(4l_P²)。