牛頓冷卻速率計算器
輸入初始溫度、環境溫度、冷卻常數與時間，計算當前溫度與冷卻速率。T₀=100, T_env=20, k=0.01, t=100s → T≈49.4℃。
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計算結果
重點速覽：牛頓冷卻定律（Isaac Newton 1701，原始形式出自牛頓未發表的筆記，後 1701 年發表）：物體溫度與環境溫差的變化率與當時溫差成正比 dΔT/dt=−kΔT，其中 ΔT=T−T_env、k 為冷卻常數（依物體性質、表面積、對流條件而定）。一階線性微分方程解得 T(t)=T_env+(T₀−T_env)·e^(−kt)。物理意義：(1) 溫差隨時間指數衰減，漸近於環境溫度；(2) 冷卻速率初始最大（ΔT₀·k），隨時間減小；(3) 時間常數 τ=1/k，半衰期 t_½=ln2/k≈0.693/k；(4) 與傅立葉熱傳導定律微觀對應：對流熱傳 Q=hAΔT，物體熱容 C=mc，故 dT/dt=−hAΔT/(mc)=−kΔT。歷史：牛頓觀察熱鐵冷卻歸納經驗定律，後由熱力學對流邊界條件推導。應用：(1) 法醫學死亡時間推斷（屍體冷卻 k~1e-4/s）；(2) 烹飪冷卻食物安全；(3) 電子元件散熱；(4) 金屬淬火工藝；(5) 建築暖通空調；(6) 地質冷卻。
計算公式
牛頓冷卻定律：dΔT/dt = -k·ΔT
解：T(t) = T_env + (T₀ − T_env)·e^(−kt)
溫差：ΔT(t) = ΔT₀·e^(−kt)
冷卻速率：dΔT/dt = -k·ΔT₀·e^(−kt)
時間常數：τ = 1/k、半衰期 t_½ = ln(2)/k
$$\frac{d\Delta T}{dt} = -k\Delta T, \quad T(t) = T_{\text{env}} + (T_0 - T_{\text{env}})e^{-kt}, \quad \Delta T(t) = \Delta T_0 e^{-kt}, \quad \tau = \frac{1}{k}, \quad t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k}$$使用說明
- 輸入初始溫度 T₀（℃，沸水 100）。
- 輸入環境溫度 T_env（℃，室溫 20）。
- 輸入冷卻常數 k（/s，空氣冷卻 0.01）。
- 輸入時間 t（s）。
- 系統計算當前溫度、溫差與冷卻速率。
T₀=100℃, T_env=20℃, k=0.01/s 各時間冷卻狀態
| t (s) | T(t) (℃) | ΔT (K) | dΔT/dt (K/s) |
|---|---|---|---|
| 0 | 100.0 | 80.0 | -0.800 |
| 50 | 68.5 | 48.5 | -0.485 |
| 100 | 49.4 | 29.4 | -0.294 |
| 200 | 30.9 | 10.9 | -0.109 |
| 500 | 20.4 | 0.4 | -0.004 |
溫差指數衰減：t=1/k=100s 時 ΔT=ΔT₀/e≈29.4K。冷卻速率與溫差正比，同步衰減。t→∞ 漸近環境溫度。
理財情境案例
法醫學死亡時間推斷
屍體冷卻常數 k~1.1e-4/s（依體重、衣著、環境）。死後測量直腸溫度 T 與環境 T_env，反推死亡時間 t=-ln((T-T_env)/(T₀-T_env))/k。
假設 T₀=37℃、T_env=20℃、k=1.1e-4/s。死後 5 小時（18000s）測得 T=37+17·e^(-1.98)≈27.4℃；反推死亡時間 5 小時。
香港法醫學使用此方法估算死亡時間。Marshall-Hoare 公式修正非牛頓冷卻（初期 plateau、後期減速）。影響因素：體重、衣著、環境溫度變化。
電子散熱與烹飪安全
CPU 晶片熱容 C=J/K、散熱器對流係數 h。dΔT/dt=-(hA/C)ΔT=-kΔT，k=hA/C。風扇加大 h、散熱器加大 A 皆增 k 加速冷卻。
烹飪：食物煮好後冷卻，4-60℃ 為危險區（細菌繁殖）。k=0.005/s 時從 80℃ 冷至 30℃ 需 t=-ln((30-20)/(80-20))/0.005≈346 s≈5.8 分鐘。
香港食環署建議熟食室溫放置不超過 2 小時。冰箱冷藏 4℃ 抑菌。牛頓冷卻為食物安全計算基礎。
常見問題
為什麼溫差指數衰減而非線性？
牛頓冷卻定律 dΔT/dt=-kΔT 表示冷卻速率與當時溫差正比。溫差大時冷卻快（散熱多）、溫差小時冷卻慢。微分方程解得 ΔT(t)=ΔT₀·e^(-kt)，指數衰減。若為線性則冷卻速率恆定，與實驗矛盾（同等時間溫降遞減）。指數衰減保證漸近環境溫度，永不低於。
冷卻常數 k 怎麼測量？
k=hA/(mc)。h 對流係數（自然對流 5-25 W/m²·K、強制對流 25-250）、A 表面積、m 質量、c 比熱。實驗測量：記錄物體溫度隨時間變化，繪 ln(ΔT)-t 圖為直線，斜率=-k。金屬水冷 k~0.1/s、空氣自然冷卻 0.001-0.01、保溫瓶 1e-5。k 越大冷卻越快。
牛頓冷卻定律適用範圍？
適用條件：(1) 溫差不大（<100 K，避免輻射顯著）；(2) 環境溫度恆定（大熱容）；(3) 強制或自然對流主導（非輻射）。高溫物體輻射顯著（Stefan-Boltzmann ∝T⁴），需修正 dT/dt=-kΔT-εσA(T⁴-T_env⁴)/(mc)。極低溫度量子效應或相變（凝固、蒸發）時定律失效。
時間常數 τ 與半衰期 t_½ 區別？
時間常數 τ=1/k：溫差衰減至 1/e≈37% 所需時間。半衰期 t_½=ln(2)/k≈0.693/k：溫差衰減至 1/2=50% 所需時間。τ 是 e 進制衰減尺度，t_½ 是 2 進制。兩者皆表徵冷卻快慢。k=0.01/s 時 τ=100s、t_½=69.3s。τ 與 t_½ 比例 1:0.693。
如何反推死亡時間？
測量屍體溫度 T、環境溫度 T_env、初始體溫 T₀=37℃，由 T(t)=T_env+(T₀-T_env)e^(-kt) 反解 t=-ln((T-T_env)/(T₀-T_env))/k。需知 k（依體重、衣著、環境估計）。實際修正：(1) 死後初期 1-2 小時 plateau（屍體表面冷卻但內部未及）；(2) Marshall-Hoare 公式修正非牛頓；(3) 環境溫度變化修正。仍是法醫學重要方法。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。T(t)=T_env+(T₀−T_env)e^(−kt)。Newton 1701。指數衰減。τ=1/k、t_½=ln2/k。k=hA/(mc)。法醫學死亡時間、食物安全。