拉莫公式計算器
輸入電荷、加速度與持續時間，計算加速電荷輻射功率與總能量。電子 a=1e15 m/s² → P≈5.7e-24 W。
輸入資料
計算結果
重點速覽：拉莫公式（Larmor formula, Joseph Larmor 1897 推導，後由 Liénard-Wiechert 勢嚴格化）：加速（非勻速）帶電粒子的輻射功率 P=q²a²/(6πε₀c³)。其中 q 電荷、a 加速度（SI）。物理：勻速電荷僅有庫倫場（不輻射）；加速時場線斷裂，產生橫向電磁波攜帶能量。非相對論極限（v≪c）下成立；相對論修正為 Liénard 公式 P=(q²γ⁶/6πε₀c³)·[a²-(v×a)²/c²]。功率 ∝ q²、∝ a²，與加速度方向無關（各向同性輻射於非相對論）。經典例：電子 a=1e15 m/s² → P≈5.7e-24 W；X 射線管電子撞靶減速 a~1e27 → P~1e-8 W（產生 X 光）。應用：(1) 同步輻射光源（電子儲存環）；(2) 無線電天線；(3) X 射線管（制動輻射 Bremsstrahlung）；(4) 粒子加速器能量損耗；(5) 脈衝星磁偶極輻射（推廣）。
計算公式
輻射功率：P = q²·a² / (6π·ε₀·c³)
總輻射能量：E = P·t
相對論修正：P = (q²γ⁶/6πε₀c³)·[a² − (v×a)²/c²]
特徵阻抗：Z₀ = √(μ₀/ε₀) = 1/(ε₀c) ≈ 376.73 Ω
簡化（高斯制）：P = 2q²a²/(3c³)
$$P = \frac{q^2 a^2}{6\pi\varepsilon_0 c^3}, \quad E = P t, \quad P_{\text{rel}} = \frac{q^2 \gamma^6}{6\pi\varepsilon_0 c^3}\left[a^2 - \frac{(\mathbf{v}\times\mathbf{a})^2}{c^2}\right]$$使用說明
- 輸入電荷 q（C，電子 1.602e-19）。
- 輸入加速度 a（m/s²）。
- 輸入持續時間 t（s）。
- 系統計算輻射功率 P 與總能量 E。
電子輻射功率範例（q=1.602e-19 C）
| a (m/s²) | 情境 | P (W) |
|---|---|---|
| 1e8 | 天線電子 | 5.7e-37 |
| 1e15 | 迴旋加速 | 5.7e-24 |
| 1e22 | 原子束縛 | 5.7e-10 |
| 1e27 | X 射線管 | 5.7e-5 |
| 1e30 | 高能碰撞 | 5.7e2 |
P∝a²。原子尺度加速度極大，故束縛電子振盪輻射可觀。加速度加倍則功率四倍。
理財情境案例
同步輻射光源
電子在儲存環以接近光速做圓周運動，向心加速度 a=γ·c²/r，輻射功率經 Liénard γ⁶ 增強。
台灣光源 TLS 1.5 GeV、周長 120m，每圈損失 10 keV 補償；香港未有此裝置。
輻射為準直、可調波長 X 射線，用於蛋白質晶體學、半導體檢測、材料科學。
X 射線管與制動輻射
電子經高壓（30-150 kV）加速後撞金屬靶，急劇減速 a~1e27 m/s²，輻射 X 光（Bremsstrahlung 制動輻射）。
特徵波長由加速電壓決定：λ_min=hc/eV=1240/V(nm)。30 kV → 0.041 nm。
醫用 X 光、CT、機場安檢皆用此原理。香港醫院常見 80-120 kV 管電壓。陽極多用鎢（熔點高）。
常見問題
為什麼勻速電荷不輻射？
勻速電荷的電場為庫倫場（徑向，隨距離衰減 1/r²）。加速時電場線斷裂：原位置的場未及更新，新位置又產生場，斷裂處形成橫向脈衝——電磁波。數學：輻射場 E_rad∝a⊥/(r·c²) 在 a=0 時為零。故勻速不輻射。慣性系等價性也要求此結果。
P∝a² 與加速度方向有關嗎？
非相對論極限無關——Larmor 公式只含 a²，與方向無關。但輻射角分佈為 ∝sin²θ（dipole pattern），垂直 a 方向最強、平行為零。相對論極限下方向有關：速度與加速度夾角影響（Liénard 式含 v×a 項），高速時輻射集中前向（探照燈效應）。
經典電子為什麼會塌陷？
繞核電子做圓周運動（加速度向心），按 Larmor 連續輻射能量，軌道半徑不斷減小，1e-11 秒內塌入原子核。但實驗顯示原子穩定——此矛盾迫使 Bohr 1913 提出量子軌道（穩定態不輻射），後發展為量子力學。Larmor 公式在經典框架正確，微觀需量子電動力學。
為什麼加速器要補償輻射損失？
電子在環形加速器每圈輻射能量 U₀∝γ⁴/ρ。LEP（CERN 100 GeV）每圈 3 GeV，需射頻腔補償，故環形對撞機能量上限受輻射限制。線性加速器無此問題（直線無向心加速度）。同步輻射雖損耗，卻可作 X 射線源利用。
Larmor 與磁偶極輻射有關嗎？
有關。脈衝星磁偶極旋轉等效於加速電荷，輻射功率 P=(2/3c³)·|m̈|²（磁偶極矩二階導平方）。自旋減速致週期變長，觀測脈衝星週期導數可推磁場。蟹狀星雲脈衝星每秒 30 轉、磁場 1e12 G，輻射驅動星雲發光。此為 Larmor 推廣至磁偶極。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。P=q²a²/(6πε₀c³)。Larmor 1897、Liénard-Wiechert 1898-1900。勻速不輻射。同步輻射 γ⁶ 增強。經典電子塌陷矛盾催生量子力學。X 射線 λ_min=hc/eV。