斜面力分析計算器
輸入質量、傾角與摩擦係數，計算各分力。m=1, θ=30°, g=9.81, μ=0 → F∥=4.9N, N=8.5N。
輸入資料
計算結果
重點速覽：斜面為六種簡單機械之一。物體在傾角 θ 的斜面上，重力 mg 分解為：(1) 沿斜面分量 F∥=mg sinθ（下滑力，推物下滑）；(2) 垂直斜面分量 N=mg cosθ（正向力，壓緊斜面）。摩擦力 f=μ·N=μ·mg cosθ（阻下滑）。淨力 F_net=F∥-f=mg(sinθ-μcosθ)。加速度 a=g(sinθ-μcosθ)。物理意義：(1) 斜面「稀釋重力」——下滑力僅 mg sinθ，傾角越小下滑力越小；(2) 機械優勢 MA=1/sinθ（理想光滑時沿斜面推力為 mg sinθ）；(3) 自鎖條件：μ > tanθ（摩擦夠大時物體不滑下）；(4) θ=90° 時退化為自由落體（N=0, F∥=mg）；(5) θ=0° 時 N=mg, F∥=0（水平面）。歷史：Stevin 1586 用斜面實驗驗證力分解，Galileo 1638 用斜面稀釋重力研究等加速運動。應用：(1) 山路盤旋（降坡度省力）；(2) 輸送帶、滑梯；(3) 螺紋（卷斜面）；(4) 楔子、斧頭；(5) 金字塔坡道建造。
計算公式
下滑力：F∥ = m · g · sinθ
正向力：N = m · g · cosθ
摩擦力：f = μ · N = μ · m · g · cosθ
淨力：F_net = m · g · (sinθ - μ · cosθ)
加速度：a = g · (sinθ - μ · cosθ)
$$F_{\parallel} = mg\sin\theta, \quad N = mg\cos\theta, \quad f = \mu N, \quad F_{\text{net}} = mg(\sin\theta - \mu\cos\theta)$$使用說明
- 輸入質量 m（kg，1）。
- 輸入傾角 θ（°，30）。
- 輸入重力 g（m/s²，9.81）。
- 輸入摩擦係數 μ（0）。
- 系統計算各分力與淨力。
m=1kg, g=9.81, μ=0 各 θ 分力
| θ (°) | F∥ (N) | N (N) | 說明 |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 9.81 | 水平面 |
| 10 | 1.70 | 9.66 | 緩坡 |
| 30 | 4.91 | 8.50 | 標準 |
| 45 | 6.93 | 6.93 | 陡坡 |
| 90 | 9.81 | 0 | 自由落體 |
θ 越大下滑力越大、正向力越小。θ=45° 時兩分量相等。
理財情境案例
山路盤旋與坡度設計
山路盤旋降低坡度省力。直上山頂坡度 30° 下滑力 F∥=mg sin30=0.5mg；改為盤旋 5° 路徑 F∥=mg sin5=0.087mg，下滑力僅 1/6。汽車爬坡需引擎力>F∥+滾動摩擦，坡度 5% 為高速公路上限。
香港山頂纜車坡度達 4-26°（全球最陡齒軌之一）。早期用纜繩拉動（非齒軌），靠摩擦力。坡度過陡μ<tanθ 會打滑，故改用齒軌。
大帽山、鳳凰山行山徑坡度 20-40°。下行膝蓋受力=N×cosθ≈mg cos²θ+mg sin²θ...簡化：下行膝蓋衝擊約 2-3 倍體重，故行山下坡傷膝。
螺紋與楔子原理
螺紋本質是卷成螺旋的斜面。M8 螺距 1.25mm、中徑 7.19mm，等效斜面傾角 θ=arctan(1.25/π·7.19)=3.16°。機械優勢 MA=1/sinθ≈18，扭矩 T=F·r 經斜面放大為軸向力 18 倍。故小扭矩可預緊螺栓至數噸。
自鎖條件 μ>tan(3.16°)=0.055。鋼螺紋 μ=0.15≫0.055，自鎖可靠。但震動環境下微動磨損降低 μ，可能鬆動。防鬆用彈簧墊圈、厭氧膠。
楔子（斧頭、刀）為雙斜面，劈力 = F/sin(楔角/2)。小楔角省力但強度低。菜刀楔角 10-15°；斧頭 20°；鑿 25-40°。香港建築用楔子拆模板。
常見問題
為什麼斜面能省力？
斜面「稀釋重力」：做功 W=mgh 不變，但沿斜面行程 d=h/sinθ 較垂直 h 長，故沿斜面推力 F=W/d=mg sinθ 較 mg 小。機械優勢 MA=1/sinθ。如 30° 斜面 MA=2，推力減半但行程加倍。能量守恆保證做功相等。山路盤旋、螺紋、楔子皆此原理。
物體何時不從斜面滑下？
自鎖條件：摩擦夠大時 F∥≤f_max，即 mg sinθ≤μ·mg cosθ，簡化 tanθ≤μ。等價摩擦角 φ=arctan(μ)，θ≤φ 時自鎖。如 μ=0.5 摩擦角 26.6°，坡度<26.6° 不滑。這是堆砂休止角（36°）、螺紋自鎖、楔子自鎖的基礎。
斜面摩擦與水平摩擦有何不同？
本質相同（f=μN），但斜面 N=mg cosθ 較水平 mg 小。故斜面摩擦較小。θ=0 時 N=mg（水平）；θ=90° 時 N=0（自由落體無摩擦）。摩擦係數 μ 不隨傾角變化（僅取決於材料）。斜面總摩擦 = μ·mg cosθ。
為什麼物體在斜面上加速度不是 g？
重力沿斜面分量僅 mg sinθ（非 mg），垂直分量被斜面支撐力抵消。故加速度 a=g sinθ（無摩擦）或 g(sinθ-μcosθ)（有摩擦）。θ=30° 無摩擦時 a=4.9 m/s²，僅 g 的一半。θ=90° 才退化為 a=g 自由落體。這是 Galileo 用斜面研究等加速運動的原因——稀釋 g 便於測量。
螺紋為何能自鎖不鬆動？
螺紋等效斜面傾角很小（如 M8 約 3°），自鎖條件 tan(3°)=0.052 ≪ 鋼 μ=0.15，摩擦遠大於下滑分量，故自鎖。重力（軸向負載）無法使螺母退轉。但震動、衝擊、溫變會微動磨損 μ 下降，臨界時鬆動。防鬆措施：彈簧墊圈（維持張力）、尼龍螺母、厭氧膠、開口銷。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。F∥=mg sinθ。Stevin 1586、Galileo 1638。山路、螺紋、楔子。自鎖 μ>tanθ。