斜面摩擦計算器
輸入質量、斜面角度、摩擦係數，計算物體在斜面上的加速度 a=g(sinθ−μcosθ)、正壓力、最大靜摩擦力與是否滑動。
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計算結果
重點速覽：斜面摩擦（incline plane with friction）：質量 m 的物體放在傾角 θ 的斜面上，受三個力：重力 mg（垂直向下）、正壓力 N（垂直斜面向上）、摩擦力 f（沿斜面、方向阻礙運動）。將重力分解：沿斜面向下的分量 mg·sinθ（推動物體下滑）、垂直斜面的分量 mg·cosθ（與正壓力平衡，N=mg·cosθ）。最大靜摩擦力 f_max=μ·N=μ·mg·cosθ。當 mg·sinθ > f_max（即 sinθ > μ·cosθ，亦即 tanθ > μ）時，物體沿斜面加速下滑，淨力 F=mg·sinθ − μ·mg·cosθ = mg(sinθ − μ·cosθ)，加速度 a=F/m=g(sinθ − μ·cosθ)。當 μ ≥ tanθ 時，靜摩擦力足以平衡重力分量，物體保持靜止（a=0）。以預設為例：m=1 kg、θ=30°、μ=0.2、g=9.81，sin30°=0.5、cos30°≈0.866，重力分量=1×9.81×0.5=4.905 N，正壓力=1×9.81×0.866≈8.496 N，最大靜摩擦=0.2×8.496≈1.699 N，淨力=4.905−1.699=3.206 N，加速度=3.206/1=3.206 m/s²。臨界角 θ_c=arctan(μ)=arctan(0.2)≈11.31°——傾角小於此值物體不會滑動。摩擦係數因材料而異：冰-冰≈0.1、木材-木材≈0.4、鋼-鋼≈0.6、橡膠-混凝土≈0.8。斜面是理解楔子、螺旋、金字塔建造、山路坡度設計的基礎。
計算公式
重力沿斜面分量：F_∥ = m·g·sinθ
正壓力：N = m·g·cosθ
最大靜摩擦力：f_max = μ·N = μ·m·g·cosθ
淨力：F = m·g·(sinθ − μ·cosθ)
加速度：a = g·(sinθ − μ·cosθ)
臨界角：θ_c = arctan(μ)（μ ≥ tanθ 時不滑動）
$$a = g(\sin\theta - \mu\cos\theta)$$$$N = mg\cos\theta, \quad f_{max} = \mu N$$$$\mu \geq \tan\theta \Rightarrow a = 0$$使用說明
- 輸入質量 m（kg）、斜面傾角 θ（度）、摩擦係數 μ、重力 g（m/s²）。
- 系統計算重力分量、正壓力、最大靜摩擦、淨力、加速度與是否滑動。
- 若 μ·cosθ ≥ sinθ（即 μ ≥ tanθ），物體保持靜止、加速度為 0。
m=1 kg、μ=0.2、g=9.81 時傾角對加速度的影響
| 傾角 θ (°) | 正壓力 N (N) | 最大靜摩擦 (N) | 加速度 a (m/s²) |
|---|---|---|---|
| 5 | 9.774 | 1.955 | 0 |
| 11.31 | 9.623 | 1.925 | 0 |
| 15 | 9.477 | 1.895 | 0.649 |
| 20 | 9.221 | 1.844 | 1.511 |
| 30 | 8.496 | 1.699 | 3.206 |
| 45 | 6.937 | 1.387 | 5.137 |
| 本例：θ=30 | 8.496 | 1.699 | 3.206 |
臨界角 θ_c=arctan(0.2)≈11.31°；θ<θ_c 時 a=0（不滑動），θ>θ_c 時 a 隨 θ 增大。
理財情境案例
滑雪坡道
滑雪者 m=70 kg、坡道 θ=25°、雪-滑雪板 μ≈0.05。
正壓力=70×9.81×cos25°≈623 N，最大靜摩擦≈31 N。
加速度=9.81×(sin25°−0.05×cos25°)≈9.81×(0.423−0.045)≈3.7 m/s²，2 秒後時速達 26.6 km/h。
貨物在斜坡上的靜止條件
木箱在木板上 μ≈0.4，臨界角 θ_c=arctan(0.4)≈21.8°。
斜坡傾角 15° < 21.8° → 木箱保持靜止，無需固定。
若傾角增至 30° > 21.8°，木箱開始下滑，加速度=g(sin30°−0.4cos30°)≈1.86 m/s²。
常見問題
為什麼有時候物體在斜面上不滑動？
當靜摩擦力足以平衡重力沿斜面分量時，物體保持靜止。條件是 μ·cosθ ≥ sinθ，即 μ ≥ tanθ。臨界角 θ_c=arctan(μ)，傾角小於此值物體就不會滑動。這就是為什麼放在緩坡上的物體可以靜止不動。
加速度公式 a=g(sinθ−μcosθ) 怎麼推導？
沿斜面方向：淨力 = 重力分量 − 摩擦力 = mg·sinθ − μ·mg·cosθ = mg(sinθ−μcosθ)。由 F=ma，a=F/m=g(sinθ−μcosθ)。當 sinθ<μcosθ 時 a 為負，表示摩擦力大於重力分量，物體不會自行下滑（此時 a 視為 0）。
正壓力為什麼是 mg·cosθ 而不是 mg？
因為斜面傾斜，重力垂直於斜面的分量只有 mg·cosθ（θ=0 時 cosθ=1，正壓力=mg；θ=90° 時 cosθ=0，正壓力=0）。正壓力決定摩擦力大小，所以斜面越陡，正壓力越小、摩擦力也越小。
臨界角 θ_c=arctan(μ) 是什麼意思？
臨界角是物體剛開始滑動的傾角。由 μ=tanθ_c 推得 θ_c=arctan(μ)。例如 μ=0.4 時 θ_c≈21.8°。傾角小於此值物體靜止；大於此值開始滑動。這就是摩擦係數測量中『傾斜平板法』的原理——逐漸增大傾角，記錄物體開始滑動時的角度即可求 μ。
靜摩擦和動摩擦係數一樣嗎？
嚴格說不同：靜摩擦係數 μ_s 通常略大於動摩擦係數 μ_k。但本工具為簡化使用同一個 μ，適用於一般估算。精確分析需區分：啟動瞬間用 μ_s，滑動後用 μ_k（加速度會略大）。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。a=g(sinθ−μcosθ)；μ≥tanθ 時不滑動；臨界角 θ_c=arctan(μ)。