費米能計算器
輸入傳導電子濃度 n（及載子質量 m*），計算 3D 自由電子氣的費米波向量 k_F、費米速度 v_F、費米能 E_F（J/eV）、費米溫度 T_F。
輸入資料
計算結果
重點速覽：費米能 E_F 是 T = 0 K（絕對零度）下，3D 自由電子氣最高占據量子態的能量；由包立不相容原理（Pauli exclusion principle）堆疊出來的最高能階。在 T > 0 但 T ≪ T_F（幾乎所有金屬室溫都成立），E_F 幾乎不變，仍然是占據機率 f(E) = 1/2 的能量（化學勢 μ ≈ E_F）。因此『費米能』是理解金屬導電率、電子熱容、霍爾效應、超導體、熱電效應的基礎參數。
計算公式
費米波向量（k 空間中費米球半徑）：k_F = (3 π² · n)^(1/3)，n 為載子濃度（m⁻³）。
費米速度：v_F = ℏ · k_F / m* （m/s）。
費米能（J）：E_F = ℏ² · k_F² / (2 m*) = ℏ²/(2 m*) · (3 π² n)^(2/3)。
費米溫度：T_F = E_F / k_B （K，k_B = 1.380649e-23 J/K）。
$$k_F = \left(3\,\pi^2\,n\right)^{1/3}$$$$E_F = \frac{\hbar^2}{2\,m^*}\,\left(3\,\pi^2\,n\right)^{2/3}$$$$T_F = \frac{E_F}{k_B}$$使用說明
- 在「材料」組中輸入：載子濃度 n（m⁻³）、（可選）有效質量 m*（kg）。
- 系統立即算出 k_F、v_F、E_F（J / eV）與 T_F。
- 若 n = 0 則全部輸出 0，避免除零；m* 使用 1e-300 下限以防 NaN。
- 對半導體可輸入 n 型導電電子濃度（摻雜密度 ≈ 游離濃度）並調整 m* 到公認有效質量值。
常見金屬（自由電子 m*=m_e）的費米參數
| 金屬 | n (10²⁸ m⁻³) | k_F (10⁹ m⁻¹) | v_F (10⁶ m/s) | E_F (eV) | T_F (10⁴ K) |
|---|---|---|---|---|---|
| Na（鈉） | 2.54 | 0.91 | 1.05 | 3.15 | 3.66 |
| Cu（銅） | 8.47 | 1.36 | 1.57 | 7.03 | 8.16 |
| Ag（銀） | 5.86 | 1.20 | 1.39 | 5.51 | 6.39 |
| Au（金） | 5.90 | 1.20 | 1.39 | 5.53 | 6.42 |
| Al（鋁） | 1.81 | 1.75 | 2.03 | 11.7 | 13.6 |
理財情境案例
銅為什麼是良導體？——費米速度的意義
Cu n ≈ 8.47e28 m⁻³、m* ≈ m_e → v_F ≈ 1.57e6 m/s，T_F ≈ 81,600 K。
意味：即使在絕對零度，傳導電子仍以 ~1.6e6 m/s 高速運行——不是『熱運動』（T=0！）而是包立原理強迫他們占據高能階。
若施加電場 E，只有費米面（E ≈ E_F）附近 k_F ± Δk 的電子能被加速（因為低能階已填滿）→ 解釋了 Drude 模型為何會低估電子熱容 100 倍（只有 ~T/T_F 比例的電子參與）。
半導體 vs 金屬的 n 差異
本徵 Si（300 K）n ≈ 1.5e16 m⁻³（遠小於金屬 1e28+），代入此工具會得到 E_F 接近 0。
所以半導體『費米能』通常指費米能階位置（接近能帶中央），而不是自由電子堆疊的最高動能；本工具的自由電子氣模型在 n < 1e25 時不再是好的近似，應改用量子統計。
常見問題
為什麼 T=300 K 時還可以用 T=0 的 E_F？
因為金屬 T_F 幾萬 K，T/T_F ≈ 300/80000 ≈ 0.004 ≪ 1 → 費米-狄拉克分布 f(E) 只在 E_F 附近 ± k_B·T（≈0.025 eV）有平滑，其他部分幾乎和階梯函數一樣。因此 E_F 幾乎不受室溫影響。
費米能 E_F 與『費米階 E_F』（能帶圖的費米能階）是同一回事嗎？
概念相近但語境不同：自由電子氣的 E_F 是最高占據動能；半導體能帶圖的 E_F 是化學勢 μ——它不一定落在能帶中。本工具模型是『金屬/自由電子』。
2D 或 1D 的費米能也用同一公式嗎？
不。本工具是 3D。2D：k_F² = 2πn → E_F = ℏ²·2πn/(2m*) ∝ n^1；1D：k_F = πn/2 → E_F ∝ n²。維度不同 k_F ↔ n 的冪次就不同。
v_F 有沒有超過光速？
金屬典型 v_F ~10⁶ m/s，約 0.5% c，不用相對論修正。只有極端高 n（例如白矮星簡併電子）才需要 Dirac/相對論型費米能。
超導體的費米能改變嗎？
在常規 BCS 超導體中，E_F 幾乎不變，但費米面附近 ± Δ（能隙，~meV）的電子配成 Cooper 對——E_F 仍是同一個，只是占據分布在 Δ 區域有修改。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。費米能與自由電子氣模型計算參考 Kittel / Ashcroft-Mermin 固態物理標準教材。