克勞修斯-克拉佩龍方程計算器
輸入潛熱、兩溫度與參考壓力，計算蒸氣壓、斜率 dP/dT 與沸點。水 L=40.7kJ/mol, 373K, 1atm → 373K 沸點。
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計算結果
重點速覽：克勞修斯-克拉佩龍方程（Clausius-Clapeyron, Émile Clapeyron 1834、Rudolf Clausius 1850 推廣）：描述純物質兩相（液-汽或固-汽）平衡時蒸氣壓隨溫度變化。基本式 dP/dT=L/(T·ΔV)，L 為相變潛熱、ΔV 為體積差。理想氣體近似（汽相體積遠大於液相，ΔV≈V_gas=RT/P）得積分式 ln(P2/P1)=-(L/R)(1/T2-1/T1)=(L/R)(1/T1-1/T2)。斜率 dP/dT=L·P/(R·T²)。沸點反推：P=101325 Pa 時的 T。歷史：Clapeyron 1834 由卡諾循環幾何推導；Clausius 1850 用熱力學第一、二定律嚴格化並引入熵概念。經典例：水 L=40.7 kJ/mol、沸點 373K、1 atm；T2=383K（110°C）→ P2≈1.43 atm（增壓）；T2=363K（90°C）→ P2≈0.70 atm。應用：(1) 氣象學預測蒸發與降水；(2) 高海拔沸點下降（香港太平山 552m → 沸點 99°C）；(3) 蒸餾與分離；(4) 冷媒與熱泵設計；(5) 相圖繪製。
計算公式
積分式：ln(P₂/P₁) = (L/R)·(1/T₁ − 1/T₂)
蒸氣壓：P₂ = P₁·exp[(L/R)·(1/T₁ − 1/T₂)]
斜率：dP/dT = L·P / (R·T²)
沸點反推：T_boil = 1 / (1/T₂ − (R/L)·ln(P₂/101325))
Clausius 原式：dP/dT = L / (T·ΔV)
$$\ln\frac{P_2}{P_1} = \frac{L}{R}\left(\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2}\right), \quad \frac{dP}{dT} = \frac{L P}{R T^2}$$使用說明
- 輸入摩爾汽化潛熱 L（J/mol，水 40700）。
- 輸入參考溫度 T₁（K）與參考壓力 P₁（Pa）。
- 輸入目標溫度 T₂（K）。
- 系統計算 P₂、斜率 dP/dT 與 1 atm 沸點。
水蒸氣壓隨溫度（L=40.7kJ/mol, T₁=373K, P₁=1atm）
| T₂ (K) | T₂ (°C) | P₂ (Pa) | P₂ (atm) |
|---|---|---|---|
| 363 | 90 | 70100 | 0.69 |
| 373 | 100 | 101325 | 1.00 |
| 383 | 110 | 143300 | 1.41 |
| 393 | 120 | 198500 | 1.96 |
| 403 | 130 | 270100 | 2.67 |
蒸氣壓隨溫度指數上升。T₂ 升 10°C → P₂ 約 ×1.4。100°C 時 P=1 atm 為沸點定義。
理財情境案例
高海拔沸點下降
Clapeyron 式：海拔升、氣壓降、沸點降。珠峰 8848m 氣壓 31 kPa，反推水沸點 T=71°C。
香港太平山頂 552m 氣壓 95 kPa，沸點約 99°C，影響微小。
高山煮食須用壓力鍋：密閉增壓至 2 atm，沸點 120°C，加快煮熟。拉薩 3650m 沸點 87°C。
蒸餾與冷媒設計
蒸餾利用各組分沸點差分離。石油分餾：40-200°C 汽油、200-300°C 煤油、300-400°C 柴油。
冷媒選擇：R134a 沸點 -26°C（1 atm），蒸發吸熱製冷；冷凝放熱。臨界溫度需高於環境。
熱泵 COP=P_冷凝/(P_冷凝-P_蒸發)，Clapeyron 式預測各溫度工作壓力。香港冷氣多用 R410A（高壓 3 MPa）。
常見問題
為什麼蒸氣壓隨溫度呈指數上升？
Clapeyron 積分式 P∝exp(L/RT)，指數形式源於 Maxwell-Boltzmann 分佈：分子速率隨溫度展寬，更多分子動能超過逸出閾值。L 為每分子逃逸所需能量。此與 Arrhenius 反應速率式 k∝exp(-Ea/RT) 同形式，皆反映熱激發。
高山上為什麼水煮不熟？
海拔升高氣壓降低，水沸點下降。沸點時液體溫度不再升高（熱用於汽化潛熱）。珠峰沸點 71°C，低於澱粉糊化與蛋白變性所需溫度（75-85°C），故食物難熟。壓力鍋增壓至 2 atm 使沸點 120°C 解決。香港海拔低影響小。
Clapeyron 與 Antoine 方程有何差別？
Clapeyron 為理論推導 ln(P)=A-B/T（假設 L 不隨 T 變）。Antoine 為經驗修正 log10(P)=A-B/(C+T)，引入第三常數 C 修正 L 隨 T 變化與非理想性，精度更高（工程常用）。Clapeyron 揭示物理本質，Antoine 用於實際查表。兩者 1 atm 附近接近。
為什麼 dP/dT 在沸點附近最大？
dP/dT=L·P/(R·T²)，L 與 P 皆在沸點附近大。但更嚴格地，接近臨界點時 L→0（液汽區別消失），dP/dT 趨有限值。蒸發-冷凝曲線在相圖上於臨界點終止。水臨界點 647K、22.1 MPa。
固體也會昇華嗎？
會。Clapeyron 式同樣適用固-汽平衡（昇華）。乾冰（CO₂）1 atm 昇華 -78.5°C；冰在 0°C 以下直接昇華（高海拔晾衣變乾）。雪不需融化即蒸發。三相點為固液汽共存之唯一狀態（水 273.16K、611 Pa）。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。ln(P2/P1)=(L/R)(1/T1-1/T2)。Clapeyron 1834、Clausius 1850。水 L=40.7kJ/mol、沸點 373K。珠峰沸點 71°C。dP/dT=L·P/(R·T²)。三相點 273.16K。