碳定年計算器
輸入剩餘碳14比例與半衰期，計算樣品年代。N/N₀=0.5、τ½=5730年 → t=5730年。
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計算結果
重點速覽：碳定年（Carbon-14 dating / Radiocarbon dating）：利用碳同位素 ¹⁴C 的放射性β衰變測量古代有機物年代。宇宙射線產生大氣中子撞擊氮 ¹⁴N(n,p)¹⁴C，¹⁴C 與氧結合為 CO₂ 被生物吸收。生物死亡後停止攝入 ¹⁴C，原有 ¹⁴C 以半衰期 τ½=5730年衰變（¹⁴C→¹⁴N+e⁻+ν̄）。測量剩餘 ¹⁴C 比例 N/N₀，由 t=-(1/λ)·ln(N/N₀) 計算年代，λ=ln(2)/τ½=1.2097e-4/年。歷史：利比 1949 年發展碳定年法，獲1960年諾貝爾化學獎。經典例：N/N₀=0.5 → t=5730年；N/N₀=0.25 → t=11460年；N/N₀=0.1 → t≈19035年。應用：(1) 考古——文物、骨骼、木炭年代測定；(2) 地質——沉積物、化石年代；(3) 古生物——滅絕物種年代；(4) 文物鑒定——藝術品真偽；(5) 氣候——古氣候冰芯年代。適用範圍 500-50000年，更久遠用鈾鉛法（¹⁴C 衰變至無法測量）。
計算公式
年代：t = -(1/λ)·ln(N/N₀) = -τ½/ln(2)·ln(N/N₀)
衰變常數：λ = ln(2)/τ½ ≈ 1.2097e-4 /年（碳14）
半衰期：τ½(¹⁴C) = 5730 ± 40 年
剩餘比例：N/N₀ = e^(-λt) = (1/2)^(t/τ½)
年代範圍：500 ~ 50000 年（碳14定年）
$$t = -\frac{1}{\lambda}\ln\frac{N}{N_0}, \quad \lambda = \frac{\ln 2}{\tau_{1/2}}, \quad \tau_{1/2}(^{14}\text{C}) = 5730\ \text{yr}$$使用說明
- 輸入剩餘碳14比例 N/N₀（0-1）與半衰期 τ½（年）。
- 系統計算年代 t=-(1/λ)·ln(N/N₀)、衰變常數 λ=ln(2)/τ½。
- 常用：N/N₀=0.5、τ½=5730 → t=5730年；N/N₀=0.25 → t=11460年；N/N₀=0.1 → t≈19035年。
碳14定年剩餘比例與年代對照
| N/N₀ | 年代 (年) | 年代 (年，近似) | 歷史時期 |
|---|---|---|---|
| 1.0 | 0 | 現代 | 現代 |
| 0.75 | 2378 | 約2400 | 戰國/秦漢 |
| 0.50 | 5730 | 約5700 | 新石器晚期 |
| 0.25 | 11460 | 約11500 | 舊石器末期 |
| 0.10 | 19035 | 約19000 | 舊石器晚期 |
| 0.05 | 24757 | 約25000 | 舊石器中期 |
| 0.01 | 38069 | 約38000 | 舊石器早期 |
| 0.001 | 57098 | 約57000 | 定年極限 |
t=-τ½·ln(N/N₀)/ln(2)。碳14定年適用 500-50000年（N/N₀ 0.001-0.9）。更久遠樣品 ¹⁴C 太少無法測量。加速器質譜（AMS）可測 mg 級樣品，精度 ±30年。
理財情境案例
死海古卷年代測定
1947年發現的死海古卷經碳14測定年代為公元前2世紀至公元1世紀（約2000-2100年前），與古文字學判斷一致。
計算：t≈2050年 → N/N₀=(1/2)^(2050/5730)=0.780，即剩餘78%的碳14。
AMS（加速器質譜）碳定年精度 ±30年，可測 mg 級樣品。死海古卷的以賽亞卷測定為公元前 335-前107年（94.2%置信）。
都靈裹屍布年代測定
1988年三個實驗室（牛津、亞利桑那、蘇黎世）獨立AMS碳定年，結果一致：公元1260-1390年（中世紀），非耶穌時代。
計算：t≈700年 → N/N₀=(1/2)^(700/5730)=0.918，剩餘91.8%碳14。
測量精度 ±30年，三實驗室結果重合，為碳定年法經典案例。此結果否定裹屍布為耶穌遺物的說法（但仍有爭議）。
常見問題
碳定年的原理是什麼？
宇宙射線產生大氣中子撞擊氮 ¹⁴N(n,p)¹⁴C，¹⁻⁴C 氧化為 CO₂ 被生物吸收。活體生物體內 ¹⁴C/¹²C 比例恆定（與大氣平衡）。生物死亡後停止攝入 ¹⁴C，原有 ¹⁴C 以半衰期 5730年衰變。測量剩餘 ¹⁴C 比例即可計算年代：t=-(1/λ)·ln(N/N₀)。
碳定年的適用範圍和限制？
適用 500-50000年的有機物（骨、木、炭、殼、紙、布）。限制：(1) 50000年以上 ¹⁴C 剩餘 <0.1% 無法測量；(2) 500年以下 ¹⁴C 衰變太少誤差大；(3) 僅適用含碳有機物，金屬、陶瓷需其他方法；(4) 樣品污染影響結果（石油、煙草等「死碳」使表觀年代偏老）。更久遠用鈾鉛法、鉀氬法。
什麼是 AMS 碳定年？
AMS（Accelerator Mass Spectrometry，加速器質譜）直接計數 ¹⁴C 原子數，而非傳統的測量β衰變。優勢：(1) 樣品量 0.1-1mg（傳統法需 1-10g）；(2) 測量時間 1小時（傳統法數天）；(3) 精度 ±30年；(4) 可測更老樣品（至 50000年）。1980年代發展，現為碳定年主流。都靈裹屍布測定即用 AMS。
碳14半衰期為什麼是5730年？
¹⁴C→¹⁴N+e⁻+ν̄ β衰變半衰期測量值 5730±40年（利比值），早期曾用 5568年（Libby half-life），修正後為 5730年（Cambridge half-life）。兩者差異 3%，定年結果需校正。衰變常數 λ=ln(2)/5730=1.2097e-4/年。每克現代碳含 ¹⁴C 活度 0.233 Bq（每秒 0.233 次衰變）。
如何校正碳定年結果？
大氣 ¹⁴C/¹²C 比例隨時間變化（太陽活動、地磁場、工業革命化石燃料「蘇斯效應」、核試驗「炸彈碳」）。需用樹輪年代學（至 14000年前）、珊瑚鈾釷法（至 50000年前）校正曲線（IntCal20）。校正後年代可能比原始 ¹⁴C 年代偏老或偏年輕數百年。海洋生物需「海洋儲庫效應」校正（表面海水 ¹⁴C 比大氣少 400年）。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。碳定年 t=-(1/λ)·ln(N/N₀)，λ=ln(2)/5730=1.2097e-4/年。N/N₀=0.5 → t=5730年；0.25 → 11460年。¹⁴C τ½=5730年，適用 500-50000年。AMS 可測 mg 樣品精度 ±30年。利比 1949 年發展，獲1960年諾貝爾化學獎。