波耳模型計算器
輸入原子序與量子數，計算軌道半徑、能量與軌道速度。H(n=1) → r=5.29e-11m, E=-13.6eV。
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計算結果
重點速覽：波耳模型（Niels Bohr 1913，丹麥物理學家，1922 諾貝爾獎）：氫原子（及類氫離子 He⁺、Li²⁺ 等）電子在量子化軌道上繞核運動，不輻射能量。軌道半徑 r_n=n²·a₀/Z，能量 E_n=-13.6·Z²/n² eV，軌道速度 v_n=α·c·Z/n。其中 a₀=5.29×10⁻¹¹ m 為波耳半徑（n=1,Z=1 時）、α≈1/137 為精細結構常數、c 為光速、Z 為原子序、n 為主量子數。三大假設：(1) 電子在穩定軌道不輻射（角動量量子化 L=nℏ）；(2) 軌道間躍遷吸收/發射光子 E=hν=|E_i-E_f|；(3) 躍遷光子波長 λ=1/R(1/n_f²-1/n_i²)（Rydberg 公式）。歷史：Bohr 1913 用此模型解釋氫原子光譜的 Balmer 系（可見光）、Lyman 系（紫外）、Paschen 系（紅外），完美符合 Rydberg 經驗公式。雖然波耳模型在量子力學（Schrödinger 1926）後被取代，但作為教學入門和定性分析工具仍有價值。應用：(1) 原子光譜分析；(2) 量子力學教學；(3) 雷射原理（能級躍遷）；(4) X 射線特徵譜（Kα 線 Moseley 定律）；(5) 離子能量級計算。
計算公式
軌道半徑：rₙ = n² · a₀ / Z
軌道能量：Eₙ = -13.6 · Z² / n² (eV)
結合能：|E| = 13.6 · Z² / n²
軌道速度：vₙ = α · c · Z / n
波耳半徑：a₀ = 5.29 × 10⁻¹¹ m
$$r_n = \frac{n^2 a_0}{Z}, \quad E_n = -\frac{13.6\, Z^2}{n^2}\,\text{eV}, \quad v_n = \frac{\alpha c Z}{n}, \quad a_0 = 5.29\times10^{-11}\,\text{m}$$使用說明
- 輸入原子序 Z（H=1）。
- 輸入主量子數 n（基態=1）。
- 系統計算軌道半徑、能量、結合能與軌道速度。
氫原子（Z=1）各能級
| n | rₙ (m) | Eₙ (eV) | v (m/s) |
|---|---|---|---|
| 1 | 5.29e-11 | -13.6 | 2.19e6 |
| 2 | 2.12e-10 | -3.40 | 1.09e6 |
| 3 | 4.76e-10 | -1.51 | 7.29e5 |
| 4 | 8.47e-10 | -0.85 | 5.47e5 |
| ∞ | ∞ | 0 | 0 |
n→∞ 電離（E=0）。n 加倍 r×4、E÷4。基態速度 2.19e6 m/s≈0.007c（αc）。
理財情境案例
氫原子光譜與 Balmer 系
Bohr 1913 解釋氫光譜 Balmer 系（可見光，n_f=2）：Hα 656.3nm（紅，n_i=3→2）、Hβ 486.1nm（藍，4→2）、Hγ 434.0nm（紫，5→2）。波長 λ=1/R(1/4-1/n²)，R=1.097e7 m⁻¹ Rydberg 常數。
Lyman 系（紫外，n_f=1）：121.6nm（2→1）、102.6nm（3→1）。Paschen 系（紅外，n_f=3）。香港太空館望遠鏡觀測恆星氫光譜線判斷溫度、組成。
類氫離子：He⁺（Z=2）能量為 H 的 4 倍（E=-54.4 eV），軌道為 H 的 1/2。Pickering 系（He⁺ 在恆星中）半整數能級歷史謎團由 Bohr 解開。
X 射線特徵譜與 Moseley 定律
內層電子（K 殼層 n=1）被擊出後，外層電子躍遷填充發射 X 射線。Kα 線（L→K 躍遷）能量近似 E=13.6×3/4×(Z-1)²≈10.2(Z-1)² eV（Moseley 1913 經驗定律）。
Moseley 定律將元素週期表從原子量排序改為原子序排序，修正了 Co/Ni、Te/I 等順序錯誤。香港大學物理系 X 射線螢光分析（XRF）用此原理測材料成分。
醫用 X 射線管：鎢靶（Z=74）Kα≈59 keV。香港公立醫院 X 光機。同步輻射光源（如上海 SSRF）產生可調 X 射線研究原子結構。
常見問題
波耳模型為什麼被量子力學取代？
波耳模型僅適用氫原子（單電子），無法解釋氦（雙電子）光譜。電子軌道為圓形（實際為機率雲）。角動量量子化假設人為（量子力學自然推導）。忽略電子自旋、軌道耦合。Schrödinger 1926 波動方程給出完整量子力學描述：能級與 Bohr 相同但軌道為波函數（s 軌道角動量=0，與 Bohr L=nℏ 矛盾）。但 Bohr 模型為量子力學入門教學重要階梯。
為什麼基態能量是 -13.6 eV？
氫原子基態 E₁=-13.6 eV 由 Bohr 模型推出：E=-ke²/(2a₀)=-（8.99e9）（1.6e-19）²/(2×5.29e-11)=-2.18e-18 J=-13.6 eV。此為電子結合能——將電子從基態移至無窮遠（電離）需 13.6 eV 能量。Rydberg 常數 R=me⁴/(8ε₀²h³c)=1.097e7 m⁻¹ 與此一致。13.6 eV 對應波長 91.2 nm（紫外，Lyman 極限）。
電子在軌道上的速度有多快？
基態速度 v₁=αc≈2.19×10⁶ m/s（光速的 0.7%，α≈1/137）。n 增大 v 減小（vₙ=αc/n）。Z 增大 v 增大（v∝Z）。重元素內層電子速度接近光速需相對論修正：鈾（Z=92）K 殼 v≈0.67c，相對論效應顯著，波耳模型偏差大。這也是重元素化學性質異常的原因（相對論收縮）。
什麼是精細結構常數 α？
α=e²/(4πε₀ℏc)≈1/137.036，為無量綱常數，表徵電磁交互作用強度。αc≈2.19×10⁶ m/s 為氫基態電子速度。α²≈5.33×10⁻⁵ 出現在精細結構（能級分裂）的相對論修正中。α 為物理學基本常數之一，其值 1/137 的來源是物理學未解之謎（Eddington 曾試推導但被推翻）。
波耳半徑 a₀ 有什麼物理意義？
a₀=5.29×10⁻¹¹ m=0.529 Å 為氫原子基態電子軌道半徑（Bohr 模型）或最可能電子距離（量子力學 1s 波函數峰值）。它定義了原子尺度（~Å）。a₀=4πε₀ℏ²/(me²) 由基本常數組合。分子的鍵長、晶體的晶格常數均為 a₀ 的數倍。a₀ 為原子單位制的長度單位。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。rₙ=n²a₀/Z。Eₙ=-13.6Z²/n²。Bohr 1913。氫光譜 Balmer/Lyman/Paschen。Moseley 定律。a₀=5.29e-11m。