拍頻計算器
輸入兩個頻率，計算拍頻與拍週期。f₁=440Hz, f₂=444Hz → f_beat=4Hz, T=0.25s。
輸入資料
計算結果
重點速覽：拍頻現象：兩個頻率相近（|f₁-f₂|≪f₁）的聲波疊加時，干涉產生振幅週期性強弱變化的「拍」。疊加波 y=2A·cos(π(f₁-f₂)t)·cos(2π·f_avg·t)，其中 f_avg=(f₁+f₂)/2 為平均頻率（載波）、f_beat=|f₁-f₂| 為拍頻（包絡）。人耳感知到平均頻率的音調，振幅以 f_beat 速率強弱變化。物理意義：(1) 拍頻=兩頻率之差的絕對值；(2) 拍週期 T_beat=1/f_beat；(3) 當 f_beat<20 Hz 時人耳可辨拍（否則感知為兩獨立音）；(4) f₁=f₂ 時無拍（完全同頻）。歷史：Hermann von Helmholtz 1863 系統研究拍現象，發明共振器測量頻率。應用：(1) 鋼琴/吉他調音（拍消失即同頻）；(2) 無線電外差接收（混頻產生中頻）；(3) Doppler 超聲測速（發射與反射頻差為流速）；(4) 聲學干涉測量；(5) 鐘錶校準。
計算公式
拍頻：f_beat = |f₁ - f₂|
拍週期：T_beat = 1 / f_beat
平均頻率：f_avg = (f₁ + f₂) / 2
疊加波：y = 2A·cos(π·f_beat·t)·cos(2π·f_avg·t)
$$f_{\text{beat}} = |f_1 - f_2|, \quad T_{\text{beat}} = \frac{1}{f_{\text{beat}}}, \quad y = 2A\cos(\pi f_{\text{beat}} t)\cos(2\pi f_{\text{avg}} t)$$使用說明
- 輸入頻率 f₁（Hz，440）。
- 輸入頻率 f₂（Hz，444）。
- 系統計算拍頻、拍週期與平均頻率。
f₁=440Hz 各頻差拍頻
| f₂ (Hz) | f_beat (Hz) | T_beat (s) | 感知 |
|---|---|---|---|
| 440 | 0 | ∞ | 無拍 |
| 441 | 1 | 1.00 | 1拍/秒 |
| 444 | 4 | 0.25 | 4拍/秒 |
| 450 | 10 | 0.10 | 快速拍 |
| 460 | 20 | 0.05 | 兩獨立音 |
f_beat<20Hz 人耳辨為拍，>20Hz 辨為兩獨立音。調音目標：拍消失（f_beat=0）。
理財情境案例
鋼琴調音與聲學測量
鋼琴調音師同時彈響標準音叉（440 Hz）與鋼琴 A4 弦。若弦頻偏離（如 442 Hz），聽到 2 Hz 拍（每秒強弱 2 次）。調整弦張力使拍消失即同頻。
等律（equal temperament）中完美五度（3:2）稍有偏差（700 cents vs 純 702 cents），產生 0.5 Hz 拍。調音師利用此拍作等律校正基準。
香港演藝學院、音樂廳調音。電子調音器（Tuner）用 FFT 測頻率差取代人耳，精度 0.1 Hz。但人耳拍頻法仍是調音基礎教學。
外差接收與 Doppler 測速
超外差收音機：接收 f₁=100 MHz 與本地振盪 f₂=99.5 MHz 混頻，產生中頻 f_beat=500 kHz。固定中頻放大器選頻，調諧只需改 f₂。香港 FM 廣播 88-108 MHz。
Doppler 超聲測速：超聲探頭發射 f₁=5 MHz，反射自血流回波 f₂=5.001 MHz（紅血球運動 Doppler 頻移）。拍頻 f_beat=1 kHz 反映血流速度。醫院超聲成像基礎。
激光 Doppler 測速：激光 f₁ 反射自運動物體 f₂，拍頻=速度×2/λ。香港科技大學流體力學研究。拍頻測速為非接觸精密測量。
常見問題
為什麼拍頻是兩頻率之差而非之和？
疊加 cos(2πf₁t)+cos(2πf₂t)=2cos(π(f₁-f₂)t)cos(2π(f₁+f₂)/2·t)。包絡 cos(π(f₁-f₂)t) 週期 T_beat=1/|f₁-f₂|，頻率為拍頻。載波 cos(2π·f_avg·t) 為平均頻率。和頻(f₁+f₂)出現在乘積的非線性檢波中，但人耳/儀器感知的是差頻（拍）。這是三角恆等式的自然結果。
人耳能聽到多少 Hz 的拍？
通常 <15-20 Hz 可辨為拍（強弱交替），>20 Hz 辨為兩獨立音（音程感）。臨界值因人而異。音樂中拍用於調音（目標拍消失）。大於 20 Hz 的頻差形成音程——如 440+550 Hz 為大三度（頻比 5:4）。拍→音程的過渡約在 15-20 Hz。
三個頻率疊加會產生什麼？
三頻疊加產生多個拍頻：f_beat12=|f₁-f₂|、f_beat13=|f₁-f₃|、f_beat23=|f₂-f₃|，以及「二階拍」（拍之拍）=|f_beat12-f_beat13|。鋼琴三弦同音弦組（每音三弦）需三弦同頻（三個拍均消失）。調音師依次消除各對拍。多頻干涉圖樣複雜，FFT 分析更有效。
拍現象與共振有何區別？
拍為兩頻率疊加的時域干涉（包絡調製），不涉及能量轉移。共振為外力頻率匹配系統自然頻率時能量持續注入、振幅增大。拍為線性疊加（不依賴系統），共振依賴系統響應（非線性或驅動）。但共振時驅動與響應頻差接近 0 也可產生拍（瞬態過程）。兩者數學形式不同。
無線電外差為什麼用拍原理？
外差接收將高頻信號 f₁ 與本地振盪 f₂ 混頻（非線性乘法），產生和頻(f₁+f₂)與差頻|f₁-f₂|。低通濾波取差頻（中頻 IF），固定頻率放大器選頻。調諧只需改 f₂=f₁-IF。優勢：高頻放大困難，降為固定中頻（如 455 kHz AM、10.7 MHz FM）易濾波放大。所有現代收音機、電視、WiFi 皆用外差。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。f_beat=|f₁-f₂|。Helmholtz 1863。鋼琴調音、外差接收、Doppler 測速。拍<20Hz 可聞。