圖形變換（Translation / Scaling / Reflection）計算器
輸入 f(x) 與變換參數，輸出新函數 g(x) 表達式與取樣點數值，涵蓋平移、伸縮與反射。
輸入資料
計算結果
重點速覽：函數圖像變換：平移 g(x)=f(x−h)+k 將圖像右移 h、上移 k；垂直伸縮 g(x)=b·f(x) 將 y 值乘 b；水平伸縮 g(x)=f(x/a) 將 x 值乘 a；反射 x 軸 g=−f(x)、y 軸 g=f(−x)、原點 g=−f(−x)。頂點等關鍵點隨變換而移動。
計算公式
平移：g(x) = f(x − h) + k（右 h、上 k）。
垂直伸縮：g(x) = b·f(x)。
水平伸縮：g(x) = f(x / a)。
反射 x 軸：g(x) = −f(x)；反射 y 軸：g(x) = f(−x)；原點：g(x) = −f(−x)。
$$g(x) = f(x-h) + k$$$$g(x) = b\,f(x),\quad g(x)=f(x/a)$$使用說明
- 選擇變換類型。
- 輸入原函數 f(x) 與對應參數（h, k, a, b）。
- 輸入取樣點 x，比較 f 與 g 的數值。
- 系統給出 g(x) 表達式與頂點變化提示。
變換對關鍵點 (x₀,y₀) 的影響
| 變換 | 新關鍵點 | 說明 |
|---|---|---|
| f(x−h)+k | (x₀+h, y₀+k) | 右移 h、上移 k |
| b·f(x) | (x₀, b·y₀) | y 伸縮 |
| f(x/a) | (a·x₀, y₀) | x 伸縮 |
| −f(x) | (x₀, −y₀) | 上下翻轉 |
| f(−x) | (−x₀, y₀) | 左右翻轉 |
水平伸縮寫成 f(x/a) 易與直覺相反：a>1 是拉寬（x 變大）。
情境案例
平移：f(x)=x² → f(x−2)+3
g(x)=(x−2)²+3，頂點由 (0,0) 移到 (2,3)。
x=1：f=1，g=(−1)²+3=4。
垂直伸縮：f(x)=x², b=2
g(x)=2x²，開口變窄（y 值加倍）。
頂點不變 (0,0)；x=1：f=1, g=2。
水平伸縮：f(x)=x², a=2
g(x)=(x/2)²=x²/4，開口變寬。
x=2：f=4, g=1。
反射 x 軸：f(x)=x² → −x²
g(x)=−x²，拋物線翻轉向下，頂點仍在 (0,0)。
反射 y 軸：f(x)=x³ → (−x)³
g(x)=(−x)³=−x³，圖像左右翻轉（奇函數對稱）。
反射原點：f(x)=x+1 → −(−x+1)
g(x)=−(−x+1)=x−1，原圖繞原點旋轉 180°。
常見問題
f(x−h) 是左移還是右移？
f(x−h) 是右移 h（因要得到原 f(x₀) 的值需 x=x₀+h）。常見錯誤是誤以為「減號=左移」。
水平伸縮為什麼用 f(x/a)？
a>1 時 x 需更大才回到原 y，圖像被拉寬；這與垂直伸縮 b·f(x) 的直覺相反，需特別留意。
反射原點是什麼？
g(x)=−f(−x) 同時左右、上下翻轉，等價於圖像繞原點旋轉 180°。
頂點怎麼變？
平移直接移動頂點；垂直伸縮改 y 座標（頂點 y 乘 b）；水平伸縮改 x 座標（乘 a）；反射使座標變號。
可以組合多種變換嗎？
可以，例如先平移再伸縮。順序會影響結果：一般先處理內層（x 方向）再外層（y 方向）。
取樣點數值有什麼用？
比較同一 x 下 f 與 g 的值，可快速驗證變換是否套用正確（如平移後 y 差 k）。
對週期函數（sin）也適用？
適用。垂直伸縮改振幅（b·sin x），水平伸縮改週期（sin(x/a) 週期變 2πa）。
水平伸縮與水平平移會混淆？
會。f(x−h) 是平移、f(x/a) 是伸縮；同時出現時寫成 f((x−h)/a) 表示先平移再伸縮，順序很重要。
相關工具
參考資料
內容審核：計算主義科學團隊。平移/伸縮/反射變換邏輯與取樣值已驗證。