立體幾何：圓錐 / 球體 / 圓柱 / 角錐 體積與表面積
選擇圓錐、球體、圓柱或角錐，輸入半徑、高與斜高，自動計算體積與總表面積、側表面積。
輸入資料
計算結果
重點速覽：圓錐 V=⅓πr²h、球體 V=⁴⁄₃πr³、圓柱 V=πr²h、方底角錐 V=⅓s²h。表面積方面，圓錐 TSA=πr(r+l)、球體 SA=4πr²、圓柱 TSA=2πr(r+h)、方底角錐 TSA=s²+2sl，其中 l 為斜高。
計算公式
圓錐：V = ⅓πr²h；TSA = πr(r + l)；l = √(r² + h²)。
球體：V = ⁴⁄₃πr³；SA = 4πr²。
圓柱：V = πr²h；TSA = 2πr(r + h)；LSA = 2πrh。
方底角錐：V = ⅓s²h；TSA = s² + 2sl；l = √((s/2)² + h²)。
$$V_{\text{cone}} = \frac{1}{3}\pi r^{2}h$$$$V_{\text{sphere}} = \frac{4}{3}\pi r^{3}$$$$V_{\text{cyl}} = \pi r^{2}h$$$$V_{\text{pyr}} = \frac{1}{3}s^{2}h$$使用說明
- 選擇立體形狀（圓錐 / 球體 / 圓柱 / 角錐）。
- 輸入底半徑 r 與高 h；角錐另需底邊長 s。
- 斜高 l 一般留空（自動由 r, h 推算），需要時可手動輸入。
- 系統輸出體積、總表面積與側表面積，並在下方案例對照。
四種立體公式速查（r 半徑, h 高, s 底邊, l 斜高）
| 立體 | 體積 V | 總表面積 TSA | 側表面積 LSA |
|---|---|---|---|
| 圓錐 Cone | ⅓πr²h | πr(r+l) | πrl |
| 球體 Sphere | ⁴⁄₃πr³ | 4πr² | （無側面之分） |
| 圓柱 Cylinder | πr²h | 2πr(r+h) | 2πrh |
| 方底角錐 Pyramid | ⅓s²h | s²+2sl | 2sl |
圓錐與角錐斜高 l 可由 √(r²+h²) 或 √((s/2)²+h²) 推算。
情境案例
圓錐 r=3, h=4
斜高 l = √(3²+4²) = 5。
V = ⅓π·9·4 = 12π ≈ 37.6991。
TSA = π·3·(3+5) = 24π ≈ 75.3982；LSA = π·3·5 = 15π ≈ 47.1239。
球體 r=3
V = ⁴⁄₃π·27 = 36π ≈ 113.0973。
SA = 4π·9 = 36π ≈ 113.0973（體積與表面積數值巧合相等）。
圓柱 r=3, h=4
V = π·9·4 = 36π ≈ 113.0973。
TSA = 2π·3·(3+4) = 42π ≈ 131.9469；LSA = 2π·3·4 = 24π ≈ 75.3982。
方底角錐 s=4, h=3
斜高 l = √(2²+3²) = √13 ≈ 3.6056。
V = ⅓·16·3 = 16。
TSA = 16 + 2·4·3.6056 = 16 + 28.844 = 44.8440；LSA = 28.8440。
圓柱 vs 圓錐（同 r, h）
同底同高時，圓錐體積 = ⅓ 圓柱體積。
例 r=3, h=4：圓柱 V=113.0973，圓錐 V=37.6991（恰為 ⅓）。
球體半徑加倍
r 由 3 變 6，體積由 36π 變 288π（8 倍，因 r³）。
表面積由 36π 變 144π（4 倍，因 r²）。
常見問題
圓錐與圓柱體積有什麼關係？
同底同高時，圓錐體積恰為圓柱的 ⅓（祖暅原理）。這是 DSE 常考的體積比較題。
什麼是斜高 l？
斜高是圓錐側面母線或角錐三角形斜面的高，非立體的高 h。圓錐 l=√(r²+h²)；方底角錐 l=√((s/2)²+h²)。
總表面積與側表面積的分別？
總表面積 TSA 包含底面，側表面積 LSA 只算曲面/斜面。球體無明確底面之分，故只有總表面積。
角錐底面不一定是正方形？
本工具假設正方形底面以便只用 s 表示。若為其他正多邊形底，底面積與側面數會改變，需另行計算。
半徑加倍，體積和表面積如何變化？
體積與 r³ 成正比（加倍變 8 倍），表面積與 r² 成正比（加倍變 4 倍）。這是相似形的尺度律。
圓柱要算兩個底面嗎？
總表面積 TSA = 2πr(r+h) 已含上下兩個底面（2πr²）與側面（2πrh）。若只算側面用 LSA = 2πrh。
可以用直徑代替半徑嗎？
本工具輸入為半徑 r。若你只有直徑 d，請先除以 2（r = d/2）再輸入。
結果單位是什麼？
體積單位為輸入長度的三次方（如 cm³），表面積為二次方（如 cm²）。本工具不帶單位，請自行補上。
相關工具
參考資料
內容審核：計算主義科學團隊。四種立體的體積與表面積公式均已驗證。