偏導數（Partial Derivatives）計算器
輸入 f(x,y) 與點 (x₀,y₀)，數值計算 ∂f/∂x、∂f/∂y 與混合偏導數 ∂²f/∂x∂y。
輸入資料
計算結果
重點速覽：偏導數 ∂f/∂x 是在保持 y 不變下對 x 的導數，描述函數沿 x 方向的變率；∂f/∂y 同理。混合偏導數 ∂²f/∂x∂y 先對 y 再對 x 求導（平滑函數下與次序無關）。梯度 ∇f=(∂f/∂x, ∂f/∂y) 指向函數增長最快方向。
計算公式
數值（中心差分）：∂f/∂x ≈ [f(x+h,y) − f(x−h,y)] / (2h)。
∂f/∂y ≈ [f(x,y+h) − f(x,y−h)] / (2h)。
混合：∂²f/∂x∂y ≈ [f(x+h,y+h) − f(x+h,y−h) − f(x−h,y+h) + f(x−h,y−h)] / (4h²)。
梯度：∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y)。
$$\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}$$$$\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)$$使用說明
- 輸入 f(x,y)（可用 x, y, + - * / ^, sin/cos/exp/ln/sqrt, e, pi）。
- 輸入求導點 (x₀, y₀)。
- 系統給出 ∂f/∂x、∂f/∂y、混合偏導數與 ∂²f/∂x²（數值）。
- 下方案例示範解析偏導數，可與數值對照。
基本二元函數偏導數速查
| f(x,y) | ∂f/∂x | ∂f/∂y |
|---|---|---|
| x²+y² | 2x | 2y |
| x·y | y | x |
| eˣsin y | eˣ sin y | eˣ cos y |
| x³y² | 3x²y² | 2x³y |
| ln(x²+y²) | 2x/(x²+y²) | 2y/(x²+y²) |
數值結果末位可能含浮點誤差；整數/簡單值請取整數解讀。
情境案例
f(x,y)=x²+y²，點 (1,2)
∂f/∂x = 2x → 2；∂f/∂y = 2y → 4。
混合 ∂²f/∂x∂y = 0（無交叉項）。
f(x,y)=x·y
∂f/∂x = y；∂f/∂y = x。
混合 ∂²f/∂x∂y = 1（與次序無關）。
f(x,y)=eˣ·sin y，點 (0,0)
∂f/∂x = eˣ sin y → 0；∂f/∂y = eˣ cos y → 1。
梯度 ∇f = (0, 1)。
f(x,y)=x³y²
∂f/∂x = 3x²y²；∂f/∂y = 2x³y。
∂²f/∂x² = 6xy²。
f(x,y)=ln(x²+y²)
∂f/∂x = 2x/(x²+y²)；∂f/∂y = 2y/(x²+y²)。
在 (1,1)：∂f/∂x = ∂f/∂y = 1。
梯度與方向
∇f 指向函數上升最快方向，其模長為最大上升率。
對 x²+y² 在 (1,2)，∇f=(2,4)，模長 √20≈4.472。
常見問題
偏導數與一般導數差別？
偏導數是「固定其他變數、只對一個變數求導」，衡量單方向變率；一般導數用於單變量函數。
混合偏導數與次序有關嗎？
若函數二次連續可微，則 ∂²f/∂x∂y = ∂²f/∂y∂x（克萊羅定理），與求導次序無關。
梯度是什麼？
梯度 ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y) 是由偏導數組成的向量，指向函數值增加最快的方向，模長為該方向最大變率。
為什麼結果有小誤差？
中心差分取極小 h 引入捨入誤差；若期望為整數/簡單分數請取整數解讀。
支援哪些函數？
x, y、四則、冪次 ^、括號，以及 sin/cos/tan/exp/ln/sqrt/abs 與常數 e, pi。
可以算三變量嗎？
本版限二元 f(x,y)；三變量需擴充變數與差分維度。
∂²f/∂x² 是什麼？
對 x 的二階偏導數，描述沿 x 方向的凹凸性；物理上如熱傳導方程中的空間二階變率。
與全微分有關係？
全微分 df = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy，偏導數即其係數，用於線性近似與誤差傳播。
相關工具
參考資料
內容審核：計算主義科學團隊。中心差分偏導數與混合偏導數數值邏輯已驗證。