維里定理計算器
輸入動能、位能與力指數，計算維里定理 2K+nU=0、總能量與 K/U 比率。重力 K=100, U=-200, n=1 → E=-100。
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計算結果
重點速覽：維里定理（Virial theorem, Clausius 1870）：對束縛力學系統，時間平均動能 ⟨K⟩ 與位能 ⟨U⟩ 滿足 2⟨K⟩=⟨r·∇U⟩。對冪次位能 U=Arⁿ（含符號），r·∇U=nU，故 2K=nU。對吸引位能 U∝-1/rⁿ（n>0，如重力 n=1、庫侖 n=1），2K=nU（U<0），即 2K-|nU|=0。總能量 E=K+U。重力：2K+U=0、E=K+U=-K=U/2（負值，束縛）。簡諧位能 U=½kx²（n=2，符號正）：2K=2U、E=K+U=常數（振動）。剛體 U=常數（n=0）：2K=0（不適用）。歷史：克勞修斯 1870 年引入「維里」（virial=Σr_i·F_i）。經典例：地球繞日 K=2.65e33 J、U=-5.30e33 J、n=1 → 2K+U=0、E=-2.65e33 J=U/2；簡諧振子 K=U=½E、E=常數。應用：(1) 天體力學——星系質量推算、暗物質證據；(2) 統計力學——理想氣體 2K=3kT（n=0，無位能）；(3) 量子力學——維里定理適用於哈密頓算符；(4) 流體——瑞利定理；(5) 宇宙學——大尺度結構。
計算公式
維里定理：2⟨K⟩ = n·⟨U⟩（U∝rⁿ，含符號）
總能量：E = K + U
重力（n=1）：2K + U = 0、E = -K = U/2
簡諧位能（n=2）：2K + 2U = 0、E = 常數
K/U 比率 = -n / 2
$$2\langle K \rangle = n \langle U \rangle, \quad E = K + U, \quad \text{重力}: 2K + U = 0, \quad E = -K = \frac{U}{2}$$使用說明
- 輸入動能 K（J，正值）。
- 輸入位能 U（J，負值表示吸引）。
- 輸入力指數 n（重力 1、簡諧 2）。
- 系統計算 E=K+U、維里檢查 2K+nU、K/U 比率。
常見系統維里定理（n=1 重力）
| 系統 | K (J) | U (J) | E (J) | K/U | 備註 |
|---|---|---|---|---|---|
| 地球繞日 | 2.65e33 | -5.30e33 | -2.65e33 | -0.5 | 2K+U=0 ✓ |
| 月繞地 | 3.82e28 | -7.65e28 | -3.82e28 | -0.5 | 克卜勒軌道 |
| 氫原子基態 | 13.6 eV | -27.2 eV | -13.6 eV | -0.5 | 量子維里 |
| 拋物線軌道 | K | 0 | K | ∞ | E=0 逃逸 |
重力系統 2K+U=0、E=-K。氫原子量子維里定理：2K+U=0（庫侖 n=1）。逃逸軌道 E≥0 不適用維里定理。
理財情境案例
星系暗物質證據
觀測星系外圍恆星速度 v(r)≈常數（平坦旋轉曲線），而非預期的 v∝1/√r（開普勒下降）。
由維里定理 2K+U=0，總質量 M(r)=v²r/G。若 v=常數，M(r)∝r，遠超可見恆星質量。
暗物質佔星系質量 85%。1975 年 Rubin 觀測證實。替代理論（MOND）修改牛頓動力學，但暗物質模型更自然。宇宙學模擬產生大尺度結構需暗物質。
理想氣體與溫度
理想氣體 U=0（分子間無作用力，n 不適用），維里定理 2K=3NkT（來自各態歷經）。
每自由度能量 ½kT（能量均分）。3D 單原子 K=3/2·NkT。雙原子加轉動 5/2·NkT。
Cp-Cv=R 由維里定理推導（等壓膨脹做功 RT/2·2=R·T）。摩耳熱容比 γ=Cp/Cv=1+2/f（f 自由度）。室溫單原子 γ=5/3、雙原子 γ=1.4。
常見問題
什麼是維里（virial）？
維里（virial, 拉丁文 vis=力）定義為 Σr_i·F_i（位置與力的乘積和）。克勞修斯 1870 年引入。對週期或束縛運動，時間平均維里為零：d²⟨Σmr²⟩/dt²=2⟨K⟩+⟨Σr·F⟩=0。對位能 U=Arⁿ，r·F=-r·∇U=-nU，故 2K=nU。
為什麼地球動能剛好是位能絕對值的一半？
重力 U∝-1/r（n=1）。維里定理 2K=1·U（U<0）→ K=-U/2。故 K=|U|/2。地球繞日 K=2.65e33、U=-5.30e33，恰好 K=|U|/2。總能量 E=K+U=-K=U/2（負值，表示束縛）。
簡諧位能的維里定理為何是 2K=2U？
簡諧位能 U=½kx²∝r²（n=2）。維里定理 2K=2U→K=U。振子動能與位能時間平均相等，總能量 E=K+U=2K=2U（守恆）。週期中 K 與 U 互換：端點 K=0、U=E；中心 K=E、U=0。時間平均 ⟨K⟩=⟨U⟩=E/2。
維里定理如何證明星系暗物質？
觀測星系外圍恆星速度 v≈常數（不隨 r 下降）。維里定理推得 M(r)=v²r/G∝r（隨 r 線性增加）。但可見恆星質量隨 r 遞減（光度遞減），故必有不可見質量（暗物質）。1975 年 Rubin 觀測多個星系證實平坦旋轉曲線。暗物質佔宇宙質能 27%。
量子力學中維里定理如何應用？
對哈密頓算符 H=T+U（U∝rⁿ），量子維里定理 2⟨T⟩=n⟨U⟩。氫原子基態：⟨T⟩=13.6 eV、⟨U⟩=-27.2 eV、2T+U=0（n=1）。諧振子基態：⟨T⟩=⟨U⟩=¼ℏω（n=2）。Hellmann-Feynman 定理證明：dE/dα 中 α 為尺度變換參數。應用於計算分子鍵能、固體內聚能。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。維里定理 2K=nU（U∝rⁿ）。重力 n=1：2K+U=0、E=-K=U/2。簡諧 n=2：K=U。氫原子 2T+U=0。暗物質證據：星系旋轉曲線平坦。克勞修斯 1870 年。