熱應力計算器
輸入楊氏模量 E、線膨脹係數 α 與溫度變化 ΔT，依 σ=E·α·ΔT 即時算出熱應力。E=200GPa, α=12e-6/K, ΔT=50K → σ=120MPa, ΔL=6e-4m。
輸入資料
計算結果
重點速覽：熱應力（thermal stress）是固體構件因溫度變化而產生的內部機械應力。當材料溫度變化時其長度按 ΔL_free=α·L·ΔT 自由膨脹或收縮（α 為線膨脹係數、L 為原長、ΔT 為溫度變化）。若構件兩端被約束（如固定端、剛性連接）無法自由伸縮，則構件內部產生與自由變形相反的應變，相應應力即熱應力 σ=E·α·ΔT（E 為楊氏模量），方向：升溫時欲伸長被約束則受壓應力（σ 為正，慣例上壓為負需符號約定）；降溫時欲收縮被約束則受拉應力。熱應變 ε=α·ΔT 為溫度引起的自由應變，當被約束時這部分應變轉為彈性應變 ε_el=σ/E，兩者代數和為零（變形協調）：α·ΔT+σ/E=0 → σ=-E·α·ΔT（符號約定下）。本計算器輸出絕對值 σ=E·α·ΔT。線膨脹係數 α 的物理意義：溫度升高 1K 時材料單位長度的伸長量。常見材料 α（1/K）：殷鋼 1.2e-6（用於鐘錶、量具，極穩定）、玻璃 9e-6、混凝土 10e-6、鋼 12e-6、銅 17e-6、黃銅 19e-6、鋁 23e-6、鋅 30e-6、塑膠 50-100e-6。α 大者熱敏性高，如鋁膨脹約為鋼的 2 倍。熱應力典型範圍：鋼構件 ΔT=50K 時 σ=200GPa×12e-6×50=120 MPa（鋼降伏 250 MPa 之半，不可忽略）；混凝土 ΔT=30K 時 σ=30GPa×10e-6×30=9 MPa（接近混凝土抗拉強度 3-5 MPa，故易裂）。熱應力的歷史：18 世紀航海羅盤與鐘錶溫度補償、19 世紀鐵路長軌脹軌、20 世紀噴氣引擎熱應力分析。應用：第一，橋樑伸縮縫——長橋兩端設縫允許自由伸縮，避免熱應力破壞；第二，鐵軌——長軌焊接需考慮溫度升降與軌道橫向穩定性（脹軌）；第三，引擎活塞與氣缸——高溫差下設計間隙，避免熱咬合或膨脹卡死；第四，玻璃——鋼化玻璃與熱強化處理，驟冷表面壓應力提高抗沖擊；第五，電子封裝——晶片、塑封、基板 α 不同，溫度循環下熱應力疲勞是封裝失效主因；第六，建築外殼——高層建築伸縮縫每隔 30-50 m 設一處；第七，雙金屬片——兩種 α 不同的金屬複合，溫度變化時彎曲，用於恆溫器、溫度計；第八，熱處理——淬火驟冷產生巨大熱應力與相變應力，易裂。使用熱應力公式要注意：第一，假設構件完全約束（兩端固定），實際約束有限時應力對應折減；第二，假設均勻溫度場，溫度梯度會產生附加熱彎曲應力；第三，升溫超過彈性極限後進入塑性，需用熱彈塑性分析；第四，α、E 隨溫度變化，高溫時需積分；第五，多材料複合（雙金屬、複合板）需變形協調與力平衡求解。總之，本計算器讓你由材料常數與溫差快速算出熱應力，是結構設計與熱分析的實用工具。
計算公式
熱應力：σ = E·α·ΔT（完全約束下）
熱應變：ε = α·ΔT
自由膨脹：ΔL = α·L·ΔT
變形協調：α·ΔT + σ/E = 0 → σ = -E·α·ΔT
完全自由構件：σ = 0（無熱應力）
$$\sigma = E\,\alpha\,\Delta T, \quad \varepsilon = \alpha\,\Delta T, \quad \Delta L = \alpha\,L\,\Delta T, \quad \alpha\,\Delta T + \frac{\sigma}{E} = 0$$使用說明
- 輸入楊氏模量 E（Pa）與線膨脹係數 α（1/K）。
- 輸入溫度變化 ΔT（K）與構件長度 L（m）。
- 右側即時顯示熱應力 σ（Pa、MPa）、自由膨脹 ΔL 與熱應變 ε。
常見材料 ΔT=50K 時的熱應力（E、α 參考）
| 材料 | E (GPa) | α (1/K) | σ (MPa) | ΔL/L (L=1m) |
|---|---|---|---|---|
| 殷鋼 | 140 | 1.2e-6 | 8.4 | 6e-5 |
| 玻璃 | 70 | 9e-6 | 31.5 | 4.5e-4 |
| 混凝土 | 30 | 10e-6 | 15.0 | 5e-4 |
| 鋼 | 200 | 12e-6 | 120.0 | 6e-4 |
| 銅 | 110 | 17e-6 | 93.5 | 8.5e-4 |
| 黃銅 | 100 | 19e-6 | 95.0 | 9.5e-4 |
| 鋁 | 70 | 23e-6 | 80.5 | 1.15e-3 |
ΔT=50K 下鋼熱應力 120 MPa（接近降伏 250 MPa 之半），混凝土 15 MPa（遠超抗拉 3-5 MPa 易裂），故混凝土需伸縮縫。殷鋼 σ 僅 8.4 MPa，故用於精密量具。鋁雖 E 低但 α 高，熱應力仍達 80 MPa。
理財情境案例
橋樑伸縮縫設計
鋼橋長 200 m，年溫差 -10°C 至 40°C（ΔT=50K）。
若兩端固定 σ=200GPa×12e-6×50=120 MPa，遠超容許應力。
自由膨脹 ΔL=α·L·ΔT=12e-6×200×50=0.12 m=12 cm，故需設伸縮縫允許 12 cm 變形；香港青馬大橋採多段伸縮縫吸收百餘 cm 變形。
鋼化玻璃製程
玻璃加熱至 600°C 後表面急冷（風淬），表面冷卻收縮但內部仍熱。
表面形成壓應力（≈100 MPa），內部形成拉應力，預應力使抗彎強度提升 3-5 倍。
熱應力 σ=E·α·ΔT=70GPa×9e-6×ΔT，ΔT=200K 時 σ=126 MPa。鋼化玻璃破裂時成小顆粒（安全玻璃），用於車窗、shower 門。
常見問題
為什麼約束會產生熱應力？
材料溫度變化時欲自由膨脹或收縮 ΔL=α·L·ΔT。若構件被約束（兩端固定）無法變形，這部分應變 ε=α·ΔT 轉為彈性應變，由 σ=E·ε=E·α·ΔT 平衡。完全自由構件 ε 由幾何變形吸收，σ=0。實際工程中約束有限（彈性支承），熱應力按約束剛度折減。這是變形協調方程 α·ΔT+σ/E=0 的結果。
熱應力與材料選擇有何關係？
熱應力 σ=E·α·ΔT，故選用低 E 或低 α 的材料可降低熱應力。殷鋼 α=1.2e-6（極低）熱應力 8.4 MPa（ΔT=50K），用於精密量具與鐘錶擺輪；陶瓷 α 低但脆，熱應力集中易裂；塑膠 E 低但 α 高，熱應力未必小。實際設計需結合熱應力與材料強度：鋼熱應力 120 MPa 但降伏 250 MPa 仍可承受；混凝土熱應力 15 MPa 但抗拉 3-5 MPa，故需伸縮縫。
如何減小工程中的熱應力？
(1) 設伸縮縫允許自由變形——橋樑、鐵軌、長管道、建築每隔 30-50 m；(2) 選用低 α 材料——殷鋼、陶瓷、碳纖維複合；(3) 均勻加熱冷卻避免溫度梯度——退火緩慢冷卻；(4) 預留間隙——活塞氣缸間隙、鐵軌預拉伸；(5) 預應力設計——混凝土預應力抵消熱拉應力；(6) 雙金屬片利用熱應力——恆溫器、溫度計。
雙金屬片如何利用熱應力？
雙金屬片由兩種 α 不同的金屬（如黃銅 α=19e-6 與殷鋼 α=1.2e-6）複合製成。溫度變化時黃銅欲大幅膨脹，殷鋼幾乎不變，兩者變形協調使金屬片彎曲。彎曲量與溫差成正比，用於恆溫器（電熨斗、空調）、溫度計、斷路器。彎曲位移雖小但經槓桿放大可推動電觸點，實現溫度控制。家用電熨斗、電飯煲保溫開關均利用此原理。
熱應力與熱衝擊有何區別？
熱應力是穩態溫度變化引起的應力 σ=E·α·ΔT；熱衝擊是溫度急劇變化（驟冷驟熱）時因熱傳速率有限、構件內外溫差大而產生的瞬態熱應力，常超過材料強度導致破裂。熱衝擊抵抗係數 R=(1-ν)·σ_f/(E·α)，與 σ_f 抗拉強度正比、與 E·α 反比。硼矽玻璃（α 低）抗熱衝擊好，故用於實驗室器皿；普通玻璃驟冷易裂。鋼化玻璃表面壓應力提高抗熱衝擊。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。σ=E·α·ΔT；ε=α·ΔT；ΔL=α·L·ΔT。鋼 E=200GPa、α=12e-6/K、ΔT=50K → σ=120 MPa、ΔL=6e-4 m、ε=6e-4。混凝土 ΔT=30K → σ=9 MPa（超抗拉易裂）。殷鋼 α=1.2e-6 熱應力極低。