火箭方程式計算器
輸入初始質量 m0、最終質量 mf、有效排氣速度 ve 與質量流率，計算火箭速度增量 Δv=ve·ln(m0/mf)、推進劑質量、推力與燃燒時間。
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計算結果
重點速覽：齊奧爾科夫斯基火箭方程式（Tsiolkovsky rocket equation）：Δv = ve·ln(m0/mf)，是火箭力學最基本也是最重要的公式，由俄羅斯學者康斯坦丁·齊奧爾科夫斯基（Konstantin Tsiolkovsky）於 1903 年推導。其中 Δv 為火箭在無外力（無重力、無大氣阻力）下僅靠噴出推進劑所能獲得的速度增量；ve 為有效排氣速度（即工質相對火箭的噴出速度，m/s）；m0 為火箭初始總質量（含推進劑）；mf 為燃燒結束後的最終質量（乾質量+剩餘推進劑）。對數項 ln(m0/mf) 體現了『質量比』的影響——火箭能達到的速度增量與質量比的自然對數成正比，這就是為何火箭需要多級、需要拋棄空燃料箱的原因。以預設為例：m0=100000 kg、mf=10000 kg、ve=3000 m/s、ṁ=100 kg/s，質量比 m0/mf=10，Δv = 3000·ln(10) ≈ 3000×2.3026 ≈ 6907.76 m/s（約 6.9 km/s），推進劑質量=90000 kg（佔初始質量 90%），推力 F=ve·ṁ=3000×100=300000 N，燃燒時間 t=90000/100=900 s。重要特徵：(1) Δv 與推進劑絕對質量無關，只與質量比有關——同樣 m0/mf=10 的 1 kg 火箭與 100 噸火箭得到相同 Δv；(2) Δv 與 ve 成正比，提升排氣速度（如改用離子推進 ve≈30000 m/s）比單純增加燃料更有效；(3) 因對數增長，質量比從 10 提升到 100（增加 9 倍燃料）只讓 Δv 翻倍，這就是為何單級火箭難以達到軌道速度（約 7.8 km/s+重力損失），需要多級拋棄。mf≥m0 時本工具自動將 mf 縮為 0.999·m0 以避免 ln(≤1)≤0。
計算公式
Δv = v_e · ln(m₀ / m_f)
質量比 = m₀ / m_f
推進劑質量 = m₀ − m_f
推進劑分數 = (m₀ − m_f) / m₀
推力 F = v_e · ṁ
燃燒時間 t = (m₀ − m_f) / ṁ
$$\Delta v = v_e \ln\frac{m_0}{m_f}$$$$F = v_e \dot{m}$$使用說明
- 輸入初始質量 m₀（kg）、最終質量 m_f（kg，須 < m₀）。
- 輸入有效排氣速度 v_e（m/s）、質量流率 ṁ（kg/s）。
- 系統計算 Δv、質量比、推進劑質量、推力與燃燒時間。
v_e=3000 m/s、m₀=100000 kg 時質量比對 Δv 的影響
| m_f (kg) | 質量比 | Δv (m/s) | 推進劑分數 |
|---|---|---|---|
| 50000 | 2 | 2079.4 | 0.500 |
| 20000 | 5 | 4828.3 | 0.800 |
| 10000 | 10 | 6907.8 | 0.900 |
| 5000 | 20 | 8982.7 | 0.950 |
| 1000 | 100 | 13815.5 | 0.990 |
| 本例：m_f=10000 | 10 | 6907.8 | 0.900 |
Δv 與質量比成對數關係——質量比翻倍僅使 Δv 增加 ln2≈0.693 倍 ve。
理財情境案例
小型化學火箭
m₀=100000 kg、m_f=10000 kg、v_e=3000 m/s、ṁ=100 kg/s。
質量比=10，Δv = 3000·ln(10) ≈ 6907.8 m/s（仍未達軌道速度 7.8 km/s）。
推進劑分數 90%，推力 300 kN，燃燒 900 s。
離子推進的高比沖
v_e=30000 m/s（離子推進）、m₀=1000 kg、m_f=500 kg。
Δv = 30000·ln(2) ≈ 20794 m/s（約 20.8 km/s，遠超化學火箭）。
代價是推力極小（ṁ 僅 mg/s 級），需長時間加速——適合深空探測。
常見問題
為什麼 Δv 與質量比成對數關係？
因為 Δv=ve·ln(m0/mf)，對數項來自動量守恆下『火箭質量隨燃燒遞減』的微分方程積分。每噸推進劑的加速效果取決於當下的剩餘質量，越後期越輕加速越快，總效果是對數而非線性。這也意味著單級火箭質量比受限，難以達到軌道速度。
什麼是有效排氣速度 v_e？
v_e 是工質（燃氣或離子流）相對火箭的噴出速度，直接決定 Δv 與推力效率。化學火箭 v_e≈2500–4500 m/s（對應比沖 250–450 s），離子推進可達 30000 m/s（比沖 3000 s）。v_e 越高，單位推進劑產生的 Δv 越大。
為什麼火箭要多級？
因為 Δv 與質量比成對數，單級火箭質量比難以超過 10（對應 Δv≈2.3·ve）。多級火箭在每級燃料耗盡後拋棄空殼，使剩餘質量 mf 大幅下降，重新獲得高質量比，從而疊加多次 Δv。這是達到軌道速度（~9.4 km/s 含重力損失）的實用方法。
推力 F 怎麼算？
推力 F = ve·ṁ，其中 ṁ 是質量流率（kg/s）。推力決定火箭的加速度（F/m），但不直接出現在 Δv 公式中——Δv 只取決於 ve 和質量比。推力大代表加速快、燃燒時間短；推力小（如離子推進）則需長時間加速但最終 Δv 可以更高。
mf ≥ m₀ 會怎樣？
mf≥m0 時 ln(m0/mf)≤0，Δv 會變負或零，這在物理上無意義（火箭不可能加速卻沒消耗推進劑）。本工具會自動將 mf 縮為 0.999·m0，得到一個很小的正 Δv，避免除零或負值。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。Δv=ve·ln(m0/mf) 與質量比成對數關係；多級拋棄是工程必然。