量子諧振子計算器
輸入角頻率與量子數，計算量子諧振子能階、零點能與能階差。ω=1e14, n=0 → E=5.27e-21 J。
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計算結果
重點速覽：量子諧振子（Heisenberg 1925、Schrödinger 1926）：質量 m、回復力常數 k 之諧振子 V=½kx²=½mω²x² 量子化後，能階 E_n=(n+½)ℏω，n=0,1,2...。推導：Schrödinger 方程 -ℏ²/(2m)·d²ψ/dx²+½mω²x²ψ=Eψ，邊界條件 ψ(∞)=0，解 Hermite 多項式 ψ_n=N_n·H_n(αx)·exp(-α²x²/2)，能量本徵值 E_n=(n+½)ℏω。特性：(1) 等距能階 ΔE=ℏω（與經典預言不符，經典能量可連續）；(2) 零點能 E₀=½ℏω（n=0 時非零，海森堡測不準必然結果）；(3) 階數高時機率分佈接近經典（對應原理）。歷史：Planck 1900 黑體輻射以諧振子能量 hν 假設（實為 E_n=nℏω，缺零點能）；Heisenberg 矩陣力學推得正確 E_n=(n+½)ℏω。應用：(1) 雙原子分子振動光譜（紅外、Raman）；(2) 固體聲子（Debye 模型）；(3) 量子場論（諧振子為場量子化基礎，每模為一諧振子）；(4) 雷射；(5) 量子計算（超導量子位）。
計算公式
能階：E_n = (n + ½)·ℏω
零點能：E₀ = ½·ℏω
能階差：ΔE = ℏω
等距階梯：E_{n+1} − E_n = ℏω
對應原理：n ≫ 1 → 機率分佈趨經典
$$E_n = \left(n + \frac{1}{2}\right)\hbar\omega, \quad E_0 = \frac{1}{2}\hbar\omega, \quad \Delta E = \hbar\omega$$使用說明
- 輸入角頻率 ω（rad/s，分子振動約 1e14）。
- 輸入量子數 n（≥0，基態 0）。
- 系統計算能階 E_n、零點能 E₀ 與能階差 ℏω。
ω=1e14 rad/s 各階能量（ℏ=1.055e-34）
| n | E_n (J) | 倍數（相對零點能） |
|---|---|---|
| 0 | 5.27e-21 | 1.0 |
| 1 | 1.58e-20 | 3.0 |
| 2 | 2.64e-20 | 5.0 |
| 3 | 3.69e-20 | 7.0 |
| 4 | 4.75e-20 | 9.0 |
能階等距 ΔE=ℏω。n=0 零點能 ½ℏω 不可為零，這是量子漲落的來源。
理財情境案例
雙原子分子振動
HCl 等雙原子分子近似諧振子，振動頻率對應紅外吸收譜線。HCl 振動 ω≈5.6e14 rad/s（2886 cm⁻¹）。
紅外光譜儀測振動吸收鑑定化學鍵，香港大學化學系常用。能量量子化導致譜線離散而非連續。
實際分子振動非嚴格諧振子，高階能階距離收窄（Morse 位能），HCl 解離能對應 n≈14。
固體聲子與比熱
晶格振動模每模為諧振子，能量量子化單元稱聲子（phonon），能量 ℏω。
Debye 模型預測低溫比熱 T³ 定律：低溫只有低頻聲子激發，高階聲子凍結。Einstein 模型假設單一頻率，高溫正確低溫失敗。
香港物理系教材常用此例。半導體、超導 BCS 理論皆以聲子為媒介。超導臨界溫度與聲子頻譜相關（McMillan 公式）。
常見問題
為什麼有零點能？
海森堡測不準原理：若能量為零則位置與動量同時確定（皆零），違反 Δx·Δp≥ℏ/2。最低能量態必有不確定動量，故 E₀=½ℏω。零點能為量子真空漲落的來源，Casimir 效應可測（兩平行板間真空零點能差異產生吸引力）。
為什麼能階等距？
諧振子位能 V=½mω²x² 為拋物線，此特殊位能解 Schrödinger 方程得等距階梯 ΔE=ℏω。非諧位能（如分子振動 Morse 位）則能階距離隨 n 增加而收窄。等距特性源自位能二次項對稱性，量子場論中每模為諧振子保證粒子數量子化。
Planck 黑體輻射為何少零點能？
Planck 1900 假設諧振子能量 E=nℏω（n=0,1,2...），缺 ½ℏω。後續量子力學嚴格解為 (n+½)ℏω。但黑體輻射平均能量只與能階差有關，零點能（常數項）不影響統計平均。故 Planck 公式仍正確。Heisenberg 矩陣力學 1925 才推得正確 E_n=(n+½)ℏω。
如何與經典對應？
對應原理：n≫1 時量子機率分佈趨於經典概率密度 1/(π√(A²-x²))（A 為振幅）。但量子在邊界有機率超出經典折返點（隧道效應）。高階時 Hermite 多項式振盪密集，平均化後接近經典。能量量子化本身不隨 n 消失，但相對能階差 ΔE/E_n≈1/n 趨零，故宏觀看連續。
量子場論為何以諧振子為基礎？
場 φ(x) 經 Fourier 分解為獨立模，每模滿足諧振子 Schrödinger 方程，能量 (n+½)ℏω。n=0 為真空，n=1 為一粒子（光子、電子），激發數對應粒子數。零點能為真空能量，宇宙常數問題（觀測遠小於理論）為當代物理懸案。量子電動力學以此計算蘭姆位移、電子自旋。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。E_n=(n+½)ℏω。Heisenberg 1925、Schrödinger 1926。等距能階 ΔE=ℏω。零點能 ½ℏω。對應原理。量子場論每模諧振子。Planck 缺零點能不影響黑體公式。