克希荷夫電壓定律計算器
輸入電源電壓與三個串聯電阻，計算迴路電流、各電阻電壓降與殘差。V=12V、R=[2,4,6] → I=1A、ΣV_drops=12V、殘差=0。
輸入資料
計算結果
重點速覽：克希荷夫電壓定律（Kirchhoff's Voltage Law, KVL）：沿任意閉合迴路繞行一周，所有電壓降代數和為零，ΣV=0。等價表述：電源電壓等於各元件電壓降之和，V_source=V_1+V_2+...+V_n。由德國物理學家古斯塔夫·克希荷夫（Gustav Kirchhoff）1845 年提出，是電路分析兩大基石之一（KCL+KVL），本質為能量守恆（電場為保守場，繞閉合迴路做功為零）。串聯電路中：總電阻 R_total=R_1+R_2+...+R_n；迴路電流 I=V_source/R_total；各電阻電壓降 V_i=I·R_i；功率 P_i=I²·R_i；殘差 ΔV=V_source−ΣV_i（理想閉合迴路 = 0）。本工具輸入電源電壓 V_source 與三個串聯電阻 R₁、R₂、R₃，輸出迴路電流、總電阻、各電阻電壓降 V₁、V₂、V₃與殘差。經典例：V=12V、R=[2,4,6]Ω → I=12/(2+4+6)=1A；V₁=2V、V₂=4V、V₃=6V；ΣV=12V、殘差=0。應用：(1) 串聯電路分析——計算電流、電壓降、功率分配；(2) 分壓器（voltage divider）V_out=V_in·R₂/(R₁+R₂)，常用於偏壓電路、感測器讀值；(3) 電源設計——計算限流電阻、穩壓電路；(4) 電路除錯——量測各節點電壓驗證 KVL；(5) 電池管理——串聯電池組電壓分配與均衡。歷史：克希荷夫 1845 年提出 KCL 與 KVL，為歐姆定律（1827）之後電路理論的重大突破。KVL 等價於法拉第電磁感應定律（dB/dt=0 時電場為保守場）。注意：KVL 在時變磁場下嚴格不成立（需用感應電動勢修正），低頻電路分析可忽略。
計算公式
克希荷夫電壓定律：ΣV = 0（閉合迴路）
電源電壓：V_source = V₁ + V₂ + V₃ + ...
總電阻（串聯）：R_total = R₁ + R₂ + R₃
迴路電流：I = V_source / R_total
電壓降：V_i = I · R_i
殘差：ΔV = V_source − ΣV_i = 0
$$\sum_{i} V_i = 0, \quad V_{source} = V_1 + V_2 + V_3$$$$I = \frac{V_{source}}{R_1 + R_2 + R_3}, \quad V_i = I R_i$$使用說明
- 輸入電源電壓 V（V）與三個串聯電阻 R₁、R₂、R₃（Ω）。
- 系統計算迴路電流 I=V/ΣR、各電阻電壓降 V_i=I·R_i、殘差 ΔV=V−ΣV_i。
- 理想閉合迴路殘差應為 0；非零殘差提示測量誤差或電路異常。
V=12V 電源下不同電阻組合的迴路電流與電壓降
| R₁(Ω) | R₂(Ω) | R₃(Ω) | 總電阻(Ω) | 電流(A) | V₁(V) | V₂(V) | V₃(V) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 4 | 6 | 12 | 1.000 | 2.000 | 4.000 | 6.000 |
| 5 | 5 | 5 | 15 | 0.800 | 4.000 | 4.000 | 4.000 |
| 10 | 20 | 30 | 60 | 0.200 | 2.000 | 4.000 | 6.000 |
| 1 | 1 | 1 | 3 | 4.000 | 4.000 | 4.000 | 4.000 |
| 100 | 200 | 300 | 600 | 0.020 | 2.000 | 4.000 | 6.000 |
電壓降與電阻成正比（串聯分壓）；總電阻越大電流越小。
理財情境案例
LED 限流電阻計算
5V 電源驅動紅色 LED（順向電壓 2V、額定電流 20mA），需串聯限流電阻。
由 KVL：V_R=5−2=3V，I=0.02A，故 R=3/0.02=150Ω。
電阻功率 P=I²·R=0.02²×150=0.06W，選用 1/4W 電阻即可。
分壓器偏壓電路
電晶體偏壓用 R₁=10kΩ、R₂=10kΩ 分壓器，V_in=5V。
由 V_out=V_in·R₂/(R₁+R₂)=5×10/(10+10)=2.5V，提供基極偏壓。
但實際負載會降低 V_out，需選 R₁、R₂ 遠小於負載阻抗（10 倍以上）以維持穩定。
常見問題
克希荷夫電壓定律（KVL）與克希荷夫電流定律（KCL）有什麼區別？
KVL 針對電壓：閉合迴路中電壓代數和為零（ΣV=0），本質為能量守恆（保守場）。KCL 針對電流：節點上流入電流等於流出電流（ΣI_in=ΣI_out），本質為電荷守恆。兩者結合可解任意線性電路，是節點電壓法、網目電流法的基礎。
為什麼殘差不為零？
理想閉合迴路殘差恆為零（電場保守）。殘差不為零常見原因：(1) 測量儀器誤差（萬用表精度）；(2) 接觸電阻（接頭氧化）；(3) 時變磁場產生感應電動勢（電場非保守）；(4) 內阻（電池、電源）未計入。實務上殘差小於 1% 視為符合 KVL。
KVL 在時變磁場下還成立嗎？
嚴格不成立。時變磁場產生感應電動勢 ε=−dΦ/dt（法拉第定律），電場為非保守場，繞閉合迴路電壓代數和不為零。修正後 KVL：ΣV=−dΦ/dt。低頻電路（如 50/60 Hz 市電）中 dΦ/dt 小，KVL 近似成立；射頻電路需用馬克斯威爾方程完整分析。
串聯與並聯電路的電壓降有什麼不同？
串聯電路中電流相同、電壓降與電阻成正比分配（V_i=I·R_i）；並聯電路中電壓相同、電流與電阻成反比分配（I_i=V/R_i）。串聯總電阻 R=R₁+R₂+...；並聯總電阻 1/R=1/R₁+1/R₂+...。本工具僅分析串聯電路。
分壓器公式是什麼？
兩電阻串聯分壓器 V_out=V_in·R₂/(R₁+R₂)，其中 R₂ 為輸出端電阻。若 R₁=R₂ 則 V_out=V_in/2。分壓器應用：偏壓、感測器讀值、電壓電平轉換。注意：分壓器輸出阻抗高，帶負載能力弱，不適合作電源。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。ΣV=0、I=V/ΣR、V_i=I·R_i；殘差理想為 0；KVL 本質為能量守恆，時變磁場下需修正。