一維彈性碰撞計算器
輸入兩物體質量與初速度，計算一維彈性碰撞後的速度，並驗證動量與動能同時守恆。
輸入資料
計算結果
重點速覽：一維彈性碰撞（elastic collision）：兩物體在一直線上碰撞，滿足兩個守恆定律——動量守恆：m1·v1 + m2·v2 = m1·v1' + m2·v2'；動能守恆：½m1·v1² + ½m2·v2² = ½m1·v1'² + ½m2·v2'²。聯立解得：v1' = ((m1−m2)·v1 + 2·m2·v2) / (m1+m2)，v2' = ((m2−m1)·v2 + 2·m1·v1) / (m1+m2)。重要特徵：當兩物體質量相等（m1=m2）且 v2=0 時，碰撞後兩者速度交換（v1'=0、v2'=v1）——這是牛頓擺的原理。當 m1≫m2（大撞小，例如牆撞球）時，v1'≈v1、v2'≈2v1−v2（小球被反向加速）。當 m2≫m1（小撞大，例如球撞牆）時，v1'≈−v1（反彈）、v2'≈0。本工具同時輸出碰撞前後動量與動能，理想彈性碰撞中兩者均守恆（動能損失百分比=0），可用於驗證計算正確性。以預設為例：m1=2 kg、v1=3 m/s、m2=1 kg、v2=0，碰撞前動量=2×3+1×0=6 kg·m/s，動能=½×2×9+0=9 J；碰撞後 v1'=((2−1)×3+2×1×0)/3=1 m/s、v2'=((1−2)×0+2×2×3)/3=4 m/s，動量=2×1+1×4=6 kg·m/s（守恆），動能=½×2×1+½×1×16=1+8=9 J（守恆）。
計算公式
動量守恆：m₁·v₁ + m₂·v₂ = m₁·v₁' + m₂·v₂'
動能守恆：½m₁v₁² + ½m₂v₂² = ½m₁v₁'² + ½m₂v₂'²
v₁' = ((m₁−m₂)v₁ + 2m₂v₂) / (m₁+m₂)
v₂' = ((m₂−m₁)v₂ + 2m₁v₁) / (m₁+m₂)
$$v_1' = \dfrac{(m_1 - m_2)v_1 + 2m_2 v_2}{m_1 + m_2}$$$$v_2' = \dfrac{(m_2 - m_1)v_2 + 2m_1 v_1}{m_1 + m_2}$$使用說明
- 輸入兩物體質量 m₁、m₂（kg，皆 > 0）。
- 輸入兩物體初速度 v₁、v₂（m/s，正向為右）。
- 系統計算碰撞後速度 v₁'、v₂'，並驗證動量與動能是否守恆。
v₂=0 時不同質量比對碰撞後速度的影響（m₁=2 kg、v₁=3 m/s）
| m₂ (kg) | v₁' (m/s) | v₂' (m/s) | 動能損失 (%) |
|---|---|---|---|
| 0.5 | 1.800 | 4.800 | 0.00 |
| 1 | 1.000 | 4.000 | 0.00 |
| 2 | 0.000 | 3.000 | 0.00 |
| 4 | −1.000 | 2.000 | 0.00 |
| 10 | −2.000 | 1.000 | 0.00 |
| 本例：m₂=1 | 1.000 | 4.000 | 0.00 |
m₁=m₂ 時速度完全交換；m₂≫m₁ 時 v₁' 反向、v₂'≈0；動能損失始終為 0（理想彈性）。
理財情境案例
牛頓擺的等質量碰撞
m₁=2 kg、v₁=3 m/s、m₂=2 kg、v₂=0（等質量）。
碰撞後 v₁'=0、v₂'=3 m/s——速度完全交換，這正是牛頓擺的原理。
動量與動能完全守恆，無任何能量損失。
大球撞小球
m₁=10 kg、v₁=2 m/s、m₂=1 kg、v₂=0。
碰撞後 v₁'≈1.636 m/s、v₂'≈3.636 m/s——小球被遠超過大球原速的速度彈開。
這是台球開球、棒球擊球時『球被高速擊出』的物理基礎。
常見問題
什麼是彈性碰撞？
彈性碰撞是指碰撞過程中動量與動能同時守恆的碰撞。現實中只有理想情況（如剛體小球在無摩擦環境、或微觀粒子的庫侖散射）才嚴格滿足；宏觀物體碰撞通常有部分動能轉為熱、聲、形變，屬於非完全彈性碰撞。
為什麼等質量碰撞會速度交換？
當 m₁=m₂ 時，公式簡化為 v₁'=v₂、v₂'=v₁。這是因為動量與動能兩個守恆方程在等質量時的唯一解就是速度交換——這正是牛頓擺的原理。
動能損失百分比為什麼是 0？
彈性碰撞的定義就是動能守恆，所以碰撞前後動能相等，損失為 0。若你看到損失 > 0，說明這不是完全彈性碰撞（請改用非彈性碰撞計算器）。
為什麼小撞大時小球會反彈？
當 m₂≫m₁ 且 v₂=0 時，v₁'≈−v₁（速度反向、大小幾乎不變），v₂'≈0。這就是球撞牆反彈的原理——大物體（牆）幾乎不動，小物體以原速反向。
這個公式適用於二維碰撞嗎？
不適用。本工具僅適用於一維（正面）碰撞。二維或三維碰撞需要分解為分量、引入散射角，公式更複雜。二維碰撞請參考動量分量守恆與能量守恆聯立求解。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。彈性碰撞動量與動能同時守恆；等質量速度交換。