白努利方程計算器
輸入兩點壓力、流速、高度與流體密度，計算白努利方程守恆。文丘里 v2>v1 → P2<P1。
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計算結果
重點速覽：白努利方程（Daniel Bernoulli 1738，瑞士）：理想流體（不可壓、無黏、穩態）沿流線機械能守恆，P+½ρv²+ρgh=常數。其中 P 為壓力（Pa）、½ρv² 為動壓、ρgh 為位壓。推導：由牛頓第二定律 F=ma 沿流線積分得能量守恆形式。物理：壓力降低→流速增加（動能增加由壓力能轉化）；位能變化對應高度差。特例：(1) 等高水平流：P+½ρv²=常數，流速快處壓力低（文丘里效應）；(2) 靜止流體（v=0）：P+ρgh=常數（流體靜壓，帕斯卡原理）；(3) 出口流速（托里拆利定理）：v=√(2gh)（容器底部出水）。應用：(1) 飛機機翼升力（上表面流速快壓力低）；(2) 文丘里流量計；(3) 皮托管測流速；(4) 棒球變化球（馬格努斯效應）；(5) 香水瓶噴霧器。歷史：Bernoulli 1738《Hydrodynamica》；Euler 1757 推導微分形式。理想條件下成立，實際流體有黏滯需修正。
計算公式
白努利方程：P₁ + ½ρv₁² + ρgh₁ = P₂ + ½ρv₂² + ρgh₂
動壓：q = ½ρv²
位壓：ρgh
求解 P₂：P₂ = P₁ + ½ρ(v₁² - v₂²) + ρg(h₁ - h₂)
托里拆利定理：v = √(2gh)（出口流速）
$$P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho g h_1 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho g h_2, \quad q = \frac{1}{2}\rho v^2, \quad v = \sqrt{2gh}$$使用說明
- 輸入點1壓力 P₁、流速 v₁、高度 h₁。
- 輸入點2流速 v₂、高度 h₂。
- 輸入流體密度 ρ（水 1000、空氣 1.225）。
- 系統計算點2壓力 P₂、動壓與壓差。
水管流體各情境壓力變化（ρ=1000 kg/m³）
| 情境 | v₂-v₁ (m/s) | Δh (m) | P₂−P₁ (Pa) |
|---|---|---|---|
| 文丘里縮管 | +3 | 0 | -4500 |
| 擴管 | -2 | 0 | +2000 |
| 下坡流 | 0 | -10 | +98067 |
| 上坡流 | 0 | +10 | -98067 |
| 皮托管 | +5 | 0 | -12500 |
流速增加則壓力降低（動能增加由壓力能轉化）。高度降低則壓力升高（位能轉壓力）。g=9.80665。
理財情境案例
飛機機翼升力
機翼剖面非對稱（上凸下平），上表面氣流路徑長流速快壓力低；下表面流速慢壓力高。
壓差產生向上升力。波音 747 巡航升力係數 ~0.6，需面積 511m²、速度 250m/s、空氣密度 0.4kg/m³ 產生 3.5e6N 升力。
香港國際機場每日數百航班依賴此原理起降。白努利為簡化模型，完整升力需 Kutta-Joukowski 定理與環流。
文丘里流量計與皮托管
文丘里管縮管段流速增加、壓力降低，測壓差可反算流量 Q=A·v=A·√(2ΔP/ρ(1-(A₁/A₂)²))。
皮托管前端開口測總壓（動壓+靜壓），側面測靜壓，壓差為動壓 ½ρv²，反算流速。
香港水務署、消防使用文丘里與皮托管量測水管流量與風速。飛機空速指示器亦用皮托管原理。
常見問題
為什麼流速快壓力低？
白努利方程 P+½ρv²=常數（等高水平流）：動壓 ½ρv² 增加時，壓力 P 必降低以保持總能守恆。物理：流速增加即動能增加，由壓力做正功轉化。狹管加速流體，壓力梯度力推動流體從低壓... 等等，這看似矛盾。實則壓力梯度驅動流體加速，所以上游壓力高下游壓力低，流體從高壓流向低壓同時加速。
白努利方程有哪些假設？
理想流體：(1) 不可壓縮（密度不變，馬赫數<0.3）；(2) 無黏滯（忽略摩擦）；(3) 穩態（不隨時間變）；(4) 沿同一流線（不同流線需另算）。實際流體有黏滯、可壓縮、有渦流，需 Navier-Stokes 方程。但低速、短距離白努利近似足夠，誤差小。
機翼升力真的只是白努利嗎？
白努利解釋為主流但非全部。完整升力需：(1) 白努利（上下壓差）；(2) 牛頓第三定律（氣流下偏轉，機翼受上反力）；(3) Kutta-Joukowski 環流定理。等時間效應（上下氣流同時到後緣）為簡化模型，已被修正。實際上下表面流速差由 Kutta 條件（後緣平順離開）決定，與環流相關。
托里拆利定理如何推導？
容器中液面高 h，底部開口流出。點1為液面（v₁≈0、h₁=h、P₁=大氣），點2為出口（h₂=0、P₂=大氣）。白努利：ρgh=½ρv₂² → v₂=√(2gh)。與自由落體同速——位能轉動能。香港中學物理常做此實驗。實際有黏滯與收縮係數 Cc~0.6，故 v=Cc·√(2gh)。
白努利方程與煙囪效應有關嗎？
有關。煙囪內熱空氣密度低（ρ_熱<ρ_冷），浮力驅動上升。等效位壓差 ΔP=gh(ρ_冷-ρ_熱) 推動氣流。高層建築火災時樓梯間煙囪效應加速煙霧擴散。香港摩天大樓（如 ICC 484m）消防設計需考慮煙囪效應，設置正壓樓梯間與防煙門。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。P+½ρv²+ρgh=常數。Bernoulli 1738、Euler 1757。流速快壓力低。托里拆利 v=√(2gh)。機翼升力需 Kutta-Joukowski 完整解。理想流體假設不可壓、無黏。