阿特伍德機計算器
輸入兩質量與重力，計算加速度與繩張力。m1=2, m2=3, g=9.81 → a=1.962, T=23.54N。
輸入資料
計算結果
重點速覽：阿特伍德機（George Atwood 1784，英國數學家）：兩質量 m₁、m₂ 經無質量不可伸長繩繞無摩擦理想滑輪連接。重力使較重者下降、較輕者上升，系統以加速度 a 運動。牛頓第二定律對兩物分別列式：m₂g-T=m₂a、T-m₁g=m₁a，聯立解得 a=(m₂-m₁)g/(m₁+m₂)、繩張力 T=2m₁m₂g/(m₁+m₂)。物理意義：(1) 加速度<g（被繩與另一側質量「拖住」）；(2) m₁=m₂ 時 a=0（平衡，等速或靜止）；(3) m₁=0 時 a=g（自由落體）、T=0；(4) 繩張力 T 必介於 m₁g 與 m₂g 之間；(5) 系統等效「將質量差的重力 (m₂-m₁)g 作用於總質量 (m₁+m₂)」。Atwood 發明此裝置「稀釋重力」使 a≪g 便於測量 g。應用：(1) 牛頓力學教學（驗證 F=ma）；(2) 電梯配重（counterweight，省功）；(3) 起重機/升降機配重塊；(4) 礦山罐籠提升；(5) 雙擺與耦合振盪教學。
計算公式
加速度：a = (m₂ - m₁) · g / (m₁ + m₂)
繩張力：T = 2 · m₁ · m₂ · g / (m₁ + m₂)
質量差：Δm = m₂ - m₁
總質量：M = m₁ + m₂
$$a = \frac{(m_2 - m_1)g}{m_1 + m_2}, \quad T = \frac{2 m_1 m_2 g}{m_1 + m_2}$$使用說明
- 輸入質量 m₁（kg，2）。
- 輸入質量 m₂（kg，3）。
- 輸入重力 g（m/s²，9.81）。
- 系統計算加速度與繩張力。
g=9.81, m1=1kg 各 m2 加速度與張力
| m₂ (kg) | a (m/s²) | T (N) | 狀態 |
|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 9.81 | 平衡 |
| 2 | 3.27 | 13.08 | 加速 |
| 3 | 4.905 | 14.715 | 加速 |
| 5 | 6.54 | 16.35 | 加速 |
| ∞ | 9.81 | 19.62 | 自由落體 |
m₂→∞ 時 a→g、T→2m₁g（繩張力為輕側 2 倍重）。m₁=m₂ 平衡。
理財情境案例
電梯配重與省功
電梯轎廂 1000kg 配重 800kg（半載補償）。等效阿特伍德機：空載 a=(1000-800)·9.81/1800=1.09 m/s²（下降）；滿載 1300kg 時 a=(1300-800)·9.81/2100=2.33 m/s²（下降配重）。馬達僅需補償質量差之力 F=Δm·g≈2000N 而非 13000N，省電 85%。香港高樓電梯普遍配重。
張力 T=2·1000·800·9.81/1800=8720N（空載）。繩纜安全係數需>10。電梯鋼纜直徑 10-15mm 多股。香港機電署規定定期檢驗。
馬達功率 P=F·v=2000×2=4kW 即可驅動，無配重則需 26kW。配重阿特伍德機原理大幅節能。
牛頓力學教學與 g 測量
Atwood 1784 發明此裝置稀釋重力。m₁=1kg, m₂=1.01kg，a=(0.01)·9.81/2.01=0.0488 m/s²，較 g 小 200 倍，可用秒錶測量物體走 1m 的時間 t=√(2d/a)=√(2/0.0488)=6.4s。由此反算 g。
香港中學物理實驗用輕滑輪+細線+砝碼。誤差來源：滑輪摩擦（非理想）、繩質量、空氣阻力。修正後 g 精度 1-3%。
現代用 photogate 與計時器精度達 0.1%。摩擦等效「質量修正」Δm_friction。阿特伍德機仍是牛頓第二定律 F=ma 最直觀驗證。
常見問題
繩張力為什麼不是 m₂g？
m₂ 加速下降，故 m₂g>T（重力大於張力，差值為 m₂a）。同理 T>m₁g（拉輕側上升）。聯立 m₂g-T=m₂a、T-m₁g=m₁a 得 T=2m₁m₂g/(m₁+m₂)。T 介於 m₁g 與 m₂g 之間。極端：m₁=0 時 T=0（自由落體，繩無張力）；m₁=m₂ 時 T=m·g（平衡）。
阿特伍德機如何稀釋重力？
a=(m₂-m₁)g/(m₁+m₂)。若 m₂≈m₁，分母≫分子，a≪g。如 m₁=1, m₂=1.01：a=0.0488 m/s²，較 g 小 200 倍。Atwood 發明此裝置正是為了讓加速度小到可被 18 世紀秒錶測量（無高速計時器），間接精測 g。
滑輪質量不忽略會怎樣？
若滑輪轉動慣量 I 不可忽略，需計入轉動牛頓定律 τ=Iα。繩張力兩側不等（T₂-T₁=I·a/r²）。等效「增加慣性質量」Δm=I/r²。加速度 a=(m₂-m₁)g/(m₁+m₂+I/r²) 較小。實驗中稱此為「滑輪修正」。理想滑輪 I=0 才回歸經典公式。
電梯配重為何不是 100%？
轎廂質量隨乘客變化（空載至滿載），無法單一配重。通常取「半載」為配重設計點（如額定 1000kg 轎廂+500kg 半載=1500kg，配重 1500kg）。空載偏差最大但方向固定，滿載偏差反向。馬達需處理雙向補償。100% 配重僅在質量恆定時可行（如纜車固定座位）。
繩質量與伸長如何影響？
繩質量使張力沿繩變化（頂部最大、下部遞減），加速度非常數。輕繩近似忽略此效。繩伸長（彈性）引入振盪——啟動瞬間有彈性波。鋼纜伸長率 0.5-2%，電梯啟停有輕微「彈跳」。計算需波動方程+邊界條件，遠比剛性繩複雜。實驗用細尼龍線伸長較大、誤差顯著。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。a=(m2-m1)g/(m1+m2)。Atwood 1784。稀釋重力、電梯配重。T=2m1m2g/(m1+m2)。