向量運算器（Dot / Cross / 加減 / 夾角 / 投影）
輸入 2D/3D 向量 A, B，計算加減、數量積、向量積、模數、夾角與投影向量。
輸入資料
計算結果
重點速覽：數量積 A·B = aₓbₓ + aᵧbᵧ + a_z b_z = |A||B|cosθ，結果為純量；垂直時為 0。向量積 A×B 僅 3D 定義，結果為垂直於兩向量的向量，模長 = |A||B|sinθ（平行四邊形面積）。投影 proj_B A = (A·B/|B|²)B。
計算公式
加法：A ± B = (aₓ±bₓ, aᵧ±bᵧ, a_z±b_z)。
點積：A·B = aₓbₓ + aᵧbᵧ + a_z b_z。
叉積：A×B = (aᵧb_z−a_z bᵧ, a_z bₓ−aₓb_z, aₓbᵧ−aᵧbₓ)。
夾角：cosθ = (A·B)/(|A||B|)。
投影：proj_B A = (A·B/|B|²)·B。
$$\mathbf{A}\cdot\mathbf{B} = |\mathbf{A}||\mathbf{B}|\cos\theta$$$$\mathbf{A}\times\mathbf{B} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}$$使用說明
- 輸入向量 A, B 的 x, y（及 z，2D 留 0）。
- 系統給出模數、點積、叉積、夾角與投影。
- 選擇「運算（詳細）」查看加/減/投影的向量結果。
- 下方案例可對照手算。
向量運算速查
| 運算 | 結果類型 | 幾何意義 |
|---|---|---|
| A + B | 向量 | 平行四邊法則 |
| A·B | 純量 | |A||B|cosθ；垂直為 0 |
| A×B | 向量(3D) | 垂直兩向量；面積=|A×B| |
| 夾角 θ | 角度 | cosθ=(A·B)/(|A||B|) |
| proj_B A | 向量 | A 在 B 方向的投影 |
叉積僅 3D 有意義；2D 僅得 z 分量（純量）。
情境案例
A=(3,2,0), B=(1,4,0)
|A|=√13≈3.6056, |B|=√17≈4.1231。
A·B = 3·1+2·4 = 11。
A×B = (0,0,10)，夾角 cosθ=11/(√13√17)≈0.7401 → θ≈42.2737°。
正交向量 A=(1,0), B=(0,1)
A·B = 0 → 垂直（θ=90°）。
2D 叉積（z 分量）= 1·1−0·0 = 1。
平行向量 A=(2,4), B=(1,2)
A = 2B，平行。
A×B = 0（叉積為零向量），夾角 0°。
投影 proj_B A
A=(3,2), B=(1,4)：A·B=11, |B|²=17。
proj = (11/17)(1,4) = (0.6471, 2.5882)。
3D 叉積 A=(1,0,0), B=(0,1,0)
A×B = (0,0,1)（沿 z 軸，右手定則）。
|A×B|=1 = |A||B|sin90°（單位正方形面積）。
物理：功 W = F·d
力 F 與位移 d 的點積即功。
例 F=(3,2), d=(1,4) → W=11（與上點積同值）。
常見問題
點積與叉積有什麼分別？
點積 A·B 是純量，衡量「同向程度」（垂直為 0）；叉積 A×B 是向量，垂直於 A, B，其模長等於兩向量張成的平行四邊形面積。
叉積只有 3D 嗎？
嚴格的叉積只在 3D 定義（結果為向量）。2D 可視為 z=0，此時叉積僅剩 z 分量（純量，等於有向面積）。
夾角怎麼算？
cosθ = (A·B)/(|A||B|)，再取反餘弦。若 A·B=0 則垂直（θ=90°）。
投影向量是什麼？
proj_B A = (A·B/|B|²)·B，是 A 在 B 方向上的分量向量；其長度即 A 在 B 上的投影長。
2D 向量要填 z 嗎？
不必，z 留 0 即可；叉積會給出 z 分量，夾角與點積不受影響。
點積為負數代表？
A·B<0 表示夾角為鈍角（θ>90°），兩向量「反向程度」較高。
與物理有什麼關係？
功 W=F·d（點積）、力矩 τ=r×F（叉積）、磁通量等皆用向量運算。
叉積方向如何記？
以右手定則：四指由 A 轉向 B，拇指指向 A×B。注意 A×B = −(B×A)。
相關工具
參考資料
內容審核：計算主義科學團隊。點積、叉積、夾角與投影邏輯已驗證。