二項分佈與泊松分佈（Binomial & Poisson）計算器
選擇二項或泊松分佈，計算 P(X=k)、期望 E(X) 與變異數 Var(X)，並附累積概率。
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計算結果
重點速覽：二項分佈 B(n,p) 描述 n 次獨立伯努利試驗中成功的次數，P(X=k)=C(n,k)pᵏ(1−p)^{n−k}，E=np，Var=np(1−p)。泊松分佈 Po(λ) 描述單位時間內稀有事件的發生次數，P(X=k)=e^{−λ}λᵏ/k!，E=Var=λ；當 n 大、p 小時二項可近似泊松（λ≈np）。
計算公式
二項：P(X=k) = C(n,k) pᵏ (1−p)^{n−k}。
二項 E(X)=np，Var(X)=np(1−p)。
泊松：P(X=k) = e^{−λ} λᵏ / k!。
泊松 E(X)=Var(X)=λ。
近似：n 大、p 小時 B(n,p) ≈ Po(np)。
$$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$$$P(X=k) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}$$使用說明
- 選擇分佈（二項 / 泊松）。
- 二項：輸入試驗數 n 與成功概率 p；泊松：輸入平均率 λ。
- 輸入事件數 k，系統給出 P(X=k)、P(X≤k)、E(X)、Var(X)。
- 下方案例對照手算。
二項 vs 泊松
| 項目 | 二項 B(n,p) | 泊松 Po(λ) |
|---|---|---|
| 適用 | n 次獨立試驗 | 單位時間稀有事件 |
| P(X=k) | C(n,k)pᵏ(1−p)^{n−k} | e^{−λ}λᵏ/k! |
| E(X) | np | λ |
| Var(X) | np(1−p) | λ |
n 大 p 小時二項≈泊松（λ=np）。
情境案例
二項 B(10, 0.3)，k=3
P(X=3) = C(10,3)·0.3³·0.7⁷ ≈ 0.266828。
E=10·0.3=3，Var=10·0.3·0.7=2.1。
拋硬幣 B(5, 0.5)，k=3（正面）
P(X=3)=C(5,3)·0.5⁵=10/32=0.3125。
E=2.5，Var=1.25。
泊松 Po(3)，k=2
P(X=2)=e^{−3}·3²/2! ≈ 0.224042。
E=Var=3。
泊松 Po(4)，k=0（零事件）
P(X=0)=e^{−4}≈0.018316（如機器故障率）。
P(X≤0)=0.018316。
二項近似泊松
B(100, 0.01) 與 Po(1) 接近：P(X=2)≈0.1844 vs 0.1839。
驗證 np=1=λ。
品管：缺陷數 Po(2)
平均每件 2 個缺陷。
P(X≥3)=1−P(X≤2)=1−(e^{−2}(1+2+2))=1−0.6767=0.3233。
常見問題
二項與泊松什麼時候用？
二項用於固定次數 n 的獨立試驗（如抽樣合格數）；泊松用於單位時間/空間內稀有事件的發生次數（如來電、故障）。
怎麼近似？
當 n 很大、p 很小（np 適中，如 n≥20, p≤0.05）時，B(n,p) 可用 Po(λ=np) 近似，計算更簡便。
E(X) 與 Var(X) 是什麼？
E(X) 是平均值（長期期望次數），Var(X) 衡量離散程度；泊松中兩者皆等於 λ，二項中 Var=np(1−p)≤E。
P(X≤k) 與 P(X=k) 差別？
P(X=k) 是恰好 k 次；P(X≤k) 是累積（0 到 k 之和），常用於「不超過 k」的機率。
p 可以大於 1 嗎？
不可以。二項的成功概率 p 必須在 0 與 1 之間（含）。泊松的 λ 則為非負實數。
泊松只能整數 k 嗎？
是的，泊松與二項的 k 皆為非負整數（事件發生次數）。
為什麼泊松 Var=E？
泊松分佈均值與變異數相等是其數學性質；若實際資料 Var≫E（過度離散），可能不適合泊松模型。
可以用來建模什麼？
客服來電量、網站流量、放射衰變計數、交通事故數等「稀有且獨立」事件均常以泊松建模。
相關工具
參考資料
內容審核：計算主義科學團隊。二項/泊松 PMF、E(X)、Var(X) 與累積概率邏輯已驗證。