二項式展開 (a + bx)ⁿ 係數與展式
輸入 (a + bx)ⁿ，自動展開並輸出各項係數，以及指定 x^k 項的係數。
輸入資料
計算結果
重點速覽：二項式定理：(a + bx)ⁿ = Σ_{k=0}^{n} C(n,k)·a^{n−k}·(bx)^k，其中 C(n,k)=n!/[k!(n−k)!]。第 k 項（x^k 項）係數為 C(n,k)·a^{n−k}·b^k，共 n+1 項。
計算公式
(a + bx)ⁿ = Σ_{k=0}^{n} C(n,k) a^{n−k} b^k x^k。
x^k 項係數 = C(n,k)·a^{n−k}·b^k。
C(n,k) = n! / (k!(n−k)!)。
$$(a+bx)^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^{k} x^{k}$$$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$使用說明
- 輸入第一項常數 a、第二項係數 b 與冪次 n（非負整數）。
- 輸入想查詢的項次 k（0 ≤ k ≤ n）。
- 系統輸出完整展開式、各項係數，以及 x^k 項的係數與完整項。
- 可用下方案例對照自己的展開過程。
小冪次二項式係數（(1+x)ⁿ）
| n | 係數 (C(n,k)) | 項數 |
|---|---|---|
| n=2 | 1, 2, 1 | 3 |
| n=3 | 1, 3, 3, 1 | 4 |
| n=4 | 1, 4, 6, 4, 1 | 5 |
| n=5 | 1, 5, 10, 10, 5, 1 | 6 |
| n=6 | 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 | 7 |
係數對稱：C(n,k)=C(n,n−k)；總和 Σ C(n,k)=2ⁿ。
情境案例
(1 + x)⁴
展開：1 + 4x + 6x² + 4x³ + x⁴。
係數即楊輝三角第 5 列：1, 4, 6, 4, 1。
x² 項係數 = C(4,2)·1²·1² = 6。
(2 + x)³
= 8 + 12x + 6x² + x³。
k=1 項係數 = C(3,1)·2²·1 = 3·4 = 12。
(1 + 2x)⁵
= 1 + 10x + 40x² + 80x³ + 80x⁴ + 32x⁵。
x³ 項係數 = C(5,3)·1²·2³ = 10·8 = 80。
(x + 1)ⁿ 中間項
當 n 為偶數，最大係數在中間 k=n/2。
例 (1+x)⁶：x³ 係數 = C(6,3) = 20 為最大。
(a − bx)ⁿ 含負號
令 b 為負即可，例如 (1−x)³ = 1 − 3x + 3x² − x³。
奇數 k 項係數為負，因 b^k < 0。
機率中的二項式係數
C(n,k) 同時是二項分佈的組合數。
例拋硬幣 4 次恰好 2 次正面：C(4,2)=6 種。
常見問題
n 可以是負數或分數嗎？
本工具限 n 為非負整數（有限項展開）。負數或分數冪會產生無窮級數，需用廣義二項式定理，超出本工具範圍。
x^k 項與「第 k 項」有何分別？
本工具以 x 的次數 k 標示（從 0 起）。習慣上「第 r 項」多從 1 起算，即 k=r−1，請注意對應。
係數出現負數正常嗎？
若 b 為負（如 (a−bx)ⁿ），奇數 k 項的 b^k 為負，係數自然為負，這是正確的。
最大係數在哪？
對 (1+x)ⁿ，係數先增後減、左右對稱；n 偶時最大在中間 k=n/2，n 奇時中間兩項並列最大。
二項式係數與機率有什麼關係？
C(n,k) 正是 n 次獨立試驗中恰有 k 次成功的組合數，也是二項分佈的係數，故兩者同源。
展開項數一定是 n+1 嗎？
是的，非負整數 n 的二項式恰有 n+1 項（k=0 到 n）。
a 或 b 是 0 怎麼辦？
a=0 時只剩 (bx)ⁿ 一項；b=0 時只剩 aⁿ。工具仍會正確輸出（多項係數為 0）。
係數很大溢位嗎？
n 上限設為 30，C(30,15)≈1.55×10⁸ 仍在安全範圍；更大冪次建議用科學計算機。
相關工具
參考資料
內容審核：計算主義科學團隊。二項式定理、組合數 C(n,k) 與係數公式均已驗證。