矩陣計算器
計算 2×2 或 3×3 矩陣的行列式與反矩陣。
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計算結果
重點速覽：行列式是方陣的一個純量，判斷矩陣是否可逆；反矩陣 A⁻¹ 滿足 A·A⁻¹ = I。2×2 有簡單公式；3×3 用餘因子（伴隨）法。當 det=0 時反矩陣不存在。行列式也衡量線性變換的面積/體積縮放比例。
計算公式
2×2: det = ad − bc；A⁻¹ = (1/det)·[[d,−b],[−c,a]]。
3×3: 按第一行餘因子展開。
det=0 ⇒ 無反矩陣（奇異）。
使用說明
- 選擇尺寸（2×2 或 3×3）。
- 填入矩陣元素 aᵢⱼ。
- 查看行列式與反矩陣。
- 若 det=0，說明欄會提示無反矩陣。
行列式與反矩陣要點
| 項目 | 2×2 | 3×3 |
|---|---|---|
| 行列式 | ad−bc | 餘因子展開 |
| 反矩陣存在 | det≠0 | det≠0 |
| A⁻¹ 形式 | (1/det)[[d,−b],[−c,a]] | adj(A)/det |
det≠0 是反矩陣存在的必要充分條件。
情境案例
2×2：[[4,7],[2,6]]
det = 4·6 − 7·2 = 24 − 14 = 10。
A⁻¹ = (1/10)·[[6,−7],[−2,4]] = [[0.6,−0.7],[−0.2,0.4]]。
2×2 奇異：[[1,2],[2,4]]
det = 1·4 − 2·2 = 0 → 無反矩陣（兩列成比例）。
3×3 對角：diag(2,3,4)
det = 2·3·4 = 24。
A⁻¹ = diag(0.5, 0.3333, 0.25)。
3×3 單位矩陣 I
det = 1；A⁻¹ = I（單位矩陣反矩陣是自己）。
旋轉矩陣 [[0,−1],[1,0]]
det = 0·0 − (−1)·1 = 1。
反矩陣等於轉置 [[0,1],[−1,0]]（正交矩陣）。
行列式幾何意義
2×2 det 等於兩列向量張成的平行四邊形有向面積。
3×3 det 等於三向量張成的平行六面體有向體積。
常見問題
非方陣可以嗎？
本工具只處理方陣 (2×2、3×3) 的行列式與反矩陣；非方陣無行列式（但可有偽逆，不在本版）。
為什麼有時沒有反矩陣？
行列式為 0 的矩陣是奇異矩陣，列向量線性相依，不存在反矩陣。
行列式有什麼意義？
det≠0 判斷可逆；其絕對值表示線性變換對面積/體積的縮放比例；符號表示是否翻轉方向。
2×2 反矩陣公式？
A⁻¹ = (1/det)·[[d,−b],[−c,a]]，即主對角互換、副對角變號再除以 det。
3×3 怎麼算反矩陣？
先求各元素餘因子得伴隨矩陣 adj(A)（轉置後），再除以 det：A⁻¹ = adj(A)/det。
轉置與反矩陣差別？
轉置 Aᵀ 只是行列互換；反矩陣 A⁻¹ 滿足 A·A⁻¹=I。正交矩陣才滿足 A⁻¹=Aᵀ。
與解線性方程有何關係？
對方陣系統 Ax=b，若 A 可逆則 x=A⁻¹b；也可由克萊默法則求解。det=0 時無唯一解。
反矩陣用來做什麼？
解線性系統、求坐標變換、密碼學與電路分析；亦用於電腦圖學的逆變換。
相關工具
參考資料
內容審核：計算主義科學團隊。行列式與反矩陣公式驗證。