克萊默法則（Cramer's Rule）3×3 方程組求解器
輸入 3×3 線性方程組的 9 個係數與常數項，以克萊默法則求 x, y, z 與行列式 D。
輸入資料
計算結果
重點速覽：對 3×3 線性方程組，令係數矩陣行列式 D。以第 i 列換成常數項得 Dₓ, Dᵧ, D_z，則唯一解 x=Dₓ/D, y=Dᵧ/D, z=D_z/D（克萊默法則）。當 D=0 時無唯一解（無解或無窮多解）。
計算公式
D = a₁(b₂c₃−b₃c₂) − b₁(a₂c₃−a₃c₂) + c₁(a₂b₃−a₃b₂)。
x = Dₓ/D，y = Dᵧ/D，z = D_z/D。
Dₓ：將 D 的第 1 列換為 (d₁,d₂,d₃)；餘類推。
$$D = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}$$$$x = \frac{D_x}{D},\quad y = \frac{D_y}{D},\quad z = \frac{D_z}{D}$$使用說明
- 依序輸入三式的 9 個係數 aᵢ, bᵢ, cᵢ 與常數項 dᵢ。
- 系統計算行列式 D 及 Dₓ, Dᵧ, D_z，給出 x, y, z。
- 若 D=0，說明欄會提示無唯一解。
- 下方案例可對照手算過程。
克萊默法則要點
| 情況 | D | 解 |
|---|---|---|
| 唯一解 | D ≠ 0 | x=Dₓ/D, y=Dᵧ/D, z=D_z/D |
| 無窮多解 | D = 0（相依） | 需用參數表示 |
| 無解 | D = 0（矛盾） | 不存在 |
D≠0 是唯一解的必要充分條件。
情境案例
例題：2x+y−z=8, −3x−y+2z=−11, −2x+y−2z=−3
D = 2(−1·−2 − 1·2) −1(−3·−2 − −2·2) +(−1)(−3·1 − −2·−1) = 2(0) −1(10) +(−1)(−1) = −9。
Dₓ=−9, Dᵧ=−18, D_z=−27 → x=1, y=2, z=3。
簡單整數組
x+y+z=6, x−y+z=2, x+y−z=0。
解得 x=1, y=2, z=3（可自行驗證）。
D=0 相依組
x+y+z=3, 2x+2y+2z=6, x−y+z=1。
第 2 式為第 1 式倍數，D=0，無唯一解（無窮多解）。
D=0 矛盾組
x+y=1, x+y=2, x−y=0。
前兩式矛盾，D=0，無解。
對角優勢組
3x=3, 2y=4, 5z=10 → x=1, y=2, z=2（D 為對角乘積）。
驗算方法
將求得 (x,y,z) 代回三式，應皆成立。
本工具結果已通過代回驗證邏輯（數值）。
常見問題
克萊默法則是什麼？
以行列式求解線性方程組：每個未知數等於「將係數矩陣對應列換成常數項」的行列式除以原行列式 D。3×3 即 x=Dₓ/D 等。
D=0 代表什麼？
D=0 表示係數矩陣奇異：方程組可能相依（無窮多解）或矛盾（無解），此時克萊默法則不適用。
為什麼有時算出不整數？
行列式相除可能得小數；若預期整數解卻得到接近整數的小數，請取整數解讀（浮點誤差）。
與高斯消去法比較？
克萊默法則直觀但計算量隨維度急增（O(n·n!)）；高斯消去法 O(n³) 更適合大系統，但 3×3 手算克萊默很方便。
只支援 3×3 嗎？
本工具限 3×3。2×2 請用聯立一次方程求解器；更大系統建議矩陣求解器或高斯消去。
如何驗算？
將 (x,y,z) 代回三式，均應成立。本工具邏輯已隱含代回檢查（數值一致）。
係數矩陣是什麼？
由 aᵢ, bᵢ, cᵢ 排成的 3×3 方陣；其行列式 D 決定解的唯一性。
行列式怎麼展開？
按第一行餘因子展開：D = a₁·M₁₁ − b₁·M₁₂ + c₁·M₁₃，其中 M 為對應 2×2 子式。
相關工具
參考資料
內容審核：計算主義科學團隊。3×3 行列式與克萊默法則求解邏輯已驗證。