軌跡方程（等距於兩點 / 定點與直線 / 定點）生成器
輸入兩點、焦點與準線或圓心與半徑，自動生成垂直平分線、拋物線或圓的軌跡代數方程。
輸入資料
計算結果
重點速覽：軌跡是滿足某幾何條件的所有點的集合。本工具處理三類：到兩定點等距（垂直平分線，線性方程）、到定點與定直線等距（拋物線，二次曲線）、到定點固定距離（圓，二次方程）。
計算公式
垂直平分線：2(x₂−x₁)x + 2(y₂−y₁)y = (x₂²+y₂²) − (x₁²+y₁²)。
拋物線（焦點 F(p,q)，準線 y=k）：(x−p)² = 2(q−k)(y − (q+k)/2)。
圓（圓心 (p,q)，半徑 R）：(x−p)² + (y−q)² = R²。
$$(x-p)^2 = 2(q-k)\left(y-\frac{q+k}{2}\right)$$$$(x-p)^2 + (y-q)^2 = R^2$$使用說明
- 選擇軌跡類型。
- 垂直平分線：輸入兩點 P, Q 座標。
- 拋物線：輸入焦點 (fx,fy) 與準線 y=k。
- 圓：輸入圓心 (cx,cy) 與半徑 R。系統給出一般式與標準式方程。
三類軌跡對照
| 條件 | 曲線 | 關鍵參數 |
|---|---|---|
| 到兩點等距 | 直線（垂直平分線） | 中點、法向量 (x₂−x₁, y₂−y₁) |
| 到定點與直線等距 | 拋物線 | 焦點、準線、頂點 |
| 到定點固定距離 | 圓 | 圓心、半徑 R |
垂直平分線為一次（線性）方程；拋物線與圓為二次曲線。
情境案例
垂直平分線：P(0,0), Q(4,0)
中點 (2,0)，垂直線為 x = 2。
公式：2(4−0)x + 0·y = (16+0)−0 → 8x = 16 → x = 2。
垂直平分線：P(0,0), Q(4,2)
2(4)x + 2(2)y = (16+4) − 0 → 8x + 4y = 20 → 2x + y = 5。
中點 (2,1) 落在線上，斜率 −2 垂直於 PQ（斜率 ½）。
拋物線：焦點 (0,0)，準線 y=−2
q−k = 0−(−2) = 2。
(x−0)² = 2·2·(y − (0−2)/2) = 4(y+1)。
頂點 (0,−1)，開口向上，p=1。
拋物線：焦點 (1,3)，準線 y=1
q−k = 3−1 = 2。
(x−1)² = 4(y − 2)。頂點 (1,2)。
圓：圓心 (0,0), R=3
x² + y² = 9。
標準式即 (x−0)²+(y−0)² = 3²。
圓：圓心 (2,−1), R=5
(x−2)² + (y+1)² = 25。
展開一般式：x² + y² − 4x + 2y − 20 = 0。
常見問題
什麼是軌跡？
軌跡是平面上滿足某固定幾何條件的所有點的集合。本工具把「等距」條件轉成代數方程。
垂直平分線為什麼是直線？
到兩定點等距的點集，正是連線段的垂直平分線，為一次（線性）方程，斜率垂直於 PQ。
拋物線的焦點與準線是什麼？
拋物線上每一點到焦點與到準線距離相等。本工具以焦點 (p,q) 與水平準線 y=k 推導標準式。
準線只能是水平線嗎？
本工具暫支援水平準線 y=k（開口上/下）。垂直準線 x=k（開口左/右）公式類似，可自行調換 x, y。
圓的一般式怎麼來？
由 (x−p)²+(y−q)²=R² 展開得 x²+y²−2px−2qy+(p²+q²−R²)=0，係數對應圓心與半徑。
拋物線頂點怎麼求？
標準式 (x−p)² = 4a(y−yv) 中頂點為 (p, yv)；本工具 yv=(q+k)/2，參數 a=(q−k)/2。
可以處理斜的準線嗎？
目前僅支援水平準線。一般傾斜準線需坐標旋轉，超出本工具範圍。
兩點重合時會怎樣？
垂直平分線需兩點不同；若 P=Q，所有點皆「等距」，不構成唯一軌跡，工具會提示無效。
相關工具
參考資料
內容審核：計算主義科學團隊。垂直平分線、拋物線與圓軌跡方程均已驗證。