等比數列計算器
輸入首項 a₁、公比 r 與項數 n，求第 n 項、前 n 項和與無限項和（當 |r|<1）。複利、折扣、物理衰變必備。
輸入資料
計算結果
重點速覽：等比數列（Geometric Sequence / GP）是滿足 aₙ₊₁/aₙ = r（常數）的數列，r 稱為公比。首項為 a₁ 的等比數列可寫成 a₁, a₁r, a₁r², …。第 n 項為 aₙ = a₁·rⁿ⁻¹。前 n 項和 Sₙ = a₁(1−rⁿ)/(1−r)（r≠1）。當 |r|<1 時，n 趨向無限，rⁿ 趨向 0，無限項和收斂為 S∞ = a₁/(1−r)；當 |r|≥1 時無限項和發散。公比為正時數列同號增長或衰減，公比為負時數列正負交替。
計算公式
第 n 項：aₙ = a₁·rⁿ⁻¹
前 n 項和（r≠1）：Sₙ = a₁(1−rⁿ)/(1−r)
無限項和（|r|<1）：S∞ = a₁/(1−r)
例：a₁=1、r=2、n=10 → a₁₀=512、S₁₀=1023
$$a_n = a_1 r^{n-1}$$$$S_n = a_1 \frac{1-r^n}{1-r}$$$$S_\infty = \frac{a_1}{1-r} \quad (|r|<1)$$使用說明
- 輸入首項 a₁。
- 輸入公比 r（可為負數或分數）。
- 輸入項數 n。
- 系統計算第 n 項、前 n 項和與無限和。
- 注意：僅當 |r|<1 時無限項和才有意義（收斂）。
等比數列示例（a₁=1、r=2）
| n | aₙ | Sₙ |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 2 | 3 |
| 3 | 4 | 7 |
| 5 | 16 | 31 |
| 10 | 512 | 1023 |
| 20 | 524288 | 1048575 |
Sₙ = 2ⁿ−1（本例 r=2）。等比數列增長極快，被稱為「指數增長」。
理財情境案例
財務與經濟
複利：本金 $1,000、年利率 5% → 10 年後本利和 $1,000×1.05¹⁰ ≈ $1,628.89。
折扣遞減：每次折扣後價格乘以 0.9，求第 n 次售價與累計支出。
貸款分期與資產折舊常用等比模型。
科學與音樂
放射性衰變：剩餘量 N(t) = N₀·(1/2)^(t/T)，每半衰期乘 1/2。
音樂音階：十二平均律相鄰頻率之比為 2^(1/12) ≈ 1.0595。
摺紙層數：每對摺厚度乘 2，摺 n 次厚度為原厚 ×2ⁿ。
常見問題
無限項和在甚麼條件下收斂？
當 |r|<1 時，隨 n 增大 rⁿ 趨向 0，Sₙ 趨近 a₁/(1−r)，即無限和收斂。當 |r|≥1 時級數發散，無限和不存在。
公比為負數會怎樣？
數列會正負交替，例如 a₁=1、r=−2 → 1, −2, 4, −8, …。第 n 項的符號隨 n 的奇偶而變，前 n 項和按公式仍可計算。
公比 r=1 時和是多少？
r=1 時所有項皆等於 a₁，Sₙ = n·a₁。此時求和公式分母 1−r 為 0，不能直接代入，需單獨處理。
等比與等差數列有何關係？
取對數後，等比數列變成等差數列：log(aₙ) 的公差為 log(r)。因此複利（等比）與線性增長（等差）可互相轉換分析。
0.999… 為何等於 1？
0.999… = 0.9 + 0.09 + 0.009 + … 是首項 0.9、公比 0.1 的等比級數，無限和 = 0.9/(1−0.1) = 1。這正是等比無限和公式的應用。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。等比數列通項、有限和與無限和收斂條件驗證。