等差數列計算器
輸入首項 a₁、公差 d 與項數 n，求第 n 項與前 n 項和。中學數學、等差級數速算必備。
輸入資料
計算結果
重點速覽：等差數列（Arithmetic Sequence / AP）是滿足 aₙ₊₁ − aₙ = d（常數）的數列，d 稱為公差。首項為 a₁ 的等差數列可寫成 a₁, a₁+d, a₁+2d, …。第 n 項為 aₙ = a₁ + (n−1)d。利用「首尾配對」的技巧，前 n 項和 Sₙ = a₁ + a₂ + … + aₙ = n(a₁ + aₙ)/2 = n[2a₁ + (n−1)d]/2。等差數列的平均值恰為首項與末項的平均 (a₁+aₙ)/2。
計算公式
第 n 項：aₙ = a₁ + (n − 1)·d
前 n 項和：Sₙ = n/2 × (a₁ + aₙ)
前 n 項和（展開式）：Sₙ = n/2 × [2a₁ + (n − 1)·d]
例：a₁=1、d=2、n=10 → a₁₀=19、S₁₀=10/2×(1+19)=100
$$a_n = a_1 + (n-1)d$$$$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d]$$使用說明
- 輸入首項 a₁。
- 輸入公差 d（可正可負）。
- 輸入項數 n。
- 系統計算第 n 項、前 n 項和並預覽數列。
- 驗證：a₁=1、d=2、n=10 → 數列 1,3,5,…,19，和 100。
等差數列示例（a₁=1、d=2）
| n | aₙ | Sₙ |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 3 | 4 |
| 3 | 5 | 9 |
| 5 | 9 | 25 |
| 10 | 19 | 100 |
| 100 | 199 | 10000 |
前 n 個奇數之和 Sₙ = n²；本例 a₁=1、d=2 正是奇數數列。
理財情境案例
儲蓄與財務
每月儲蓄首月 $1,000、之後每月增加 $500：一年（12 個月）共儲 $1,000×12 + $500×(1+…+11) = $45,000。
分期付款每期金額等差遞減，求總付款額。
薪金每年固定加薪，求多年總收入。
日常數學
階梯狀座位編排：每排比前排多 2 個座位，求總座位數。
比賽積分遞增：第一日 10 分、之後每日多 3 分，求第 30 日分數與累計分數。
數列 1,3,5,7,… 第 n 項為 2n−1，前 n 個奇數和為 n²。
常見問題
如何由兩項求公差與首項？
由任意兩項 aⱼ 與 aₖ 可得公差 d = (aₖ−aⱼ)/(k−j)，再代回 a₁ = aⱼ − (j−1)d 求首項。
公差可以是負數嗎？
可以。負公差使數列遞減，例如 10, 7, 4, 1, −2, …。公式同樣適用，和亦可能為負。
前 n 項和公式如何記憶？
Sₙ = n × (首項+末項)/2，即「項數 × 首尾平均」。因為每對首尾對稱項之和相等：a₁+aₙ = a₂+aₙ₋₁ = …。
等差數列與等比數列有何分別？
等差數列以固定差值增長（加法），等比數列以固定比值增長（乘法）。例如 2,4,6,8 是等差（d=2），2,4,8,16 是等比（r=2）。
如何判斷一數列是否等差？
任取相鄰兩項求差，若所有差值相等則為等差。等差的充要條件是 aₙ 為 n 的一次函數。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。等差數列通項與求和公式、首尾配對技巧驗證。