複數（Complex Number）計算器
複數加減乘除、共軛複數、模數 |z|、幅角 θ 與極式（Polar Form）轉換。
輸入資料
計算結果
重點速覽：複數 z=x+yi，x 為實部、y 為虛部、i²=−1。加減乘除：z₁±z₂=(a±c)+(b±d)i；z₁z₂=(ac−bd)+(ad+bc)i；z₁/z₂=(z₁·z̄₂)/|z₂|²。共軛 z̄=a−bi。模數 |z|=√(x²+y²)。幅角 θ=atan2(y,x)。極式 z=r(cosθ+i sinθ)，r=|z|。Argand 圖以 (x,y) 標示複數。
計算公式
加/減：分別加/減實部與虛部。
乘：(ac−bd)+(ad+bc)i。
除：分子分母同乘 z̄₂，得 [(ac+bd)+(bc−ad)i]/(c²+d²)。
共軛：a−bi；模：√(a²+b²)；幅角：atan2(b,a)。
極式：r(cosθ+i sinθ)；歐拉：r·e^{iθ}。
$$z_1z_2 = (ac-bd) + (ad+bc)i$$$$z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$$使用說明
- 選擇運算（加/減/乘/除/共軛/模/幅角/極式）。
- 輸入 z₁=a+bi；乘除/加減另輸入 z₂=c+di。
- 系統給結果、模數、幅角與極式。
- 下方案例對照手算。
複數運算速查
| 運算 | 結果 | 幾何意義 |
|---|---|---|
| z₁+z₂ | (a+c)+(b+d)i | 向量相加 |
| z₁z₂ | (ac−bd)+(ad+bc)i | 模相乘、角相加 |
| z₁/z₂ | [(ac+bd)+(bc−ad)i]/(c²+d²) | 模相除、角相減 |
| z̄ | a−bi | x 軸鏡射 |
| |z| | √(a²+b²) | 到原點距離 |
乘法幅角相加：arg(z₁z₂)=arg(z₁)+arg(z₂)。
情境案例
(3+2i)+(1+4i)=4+6i
加：實部 3+1=4，虛部 2+4=6 → 4+6i。
|z|=√(16+36)=√52≈7.2111，θ≈56.31°。
(3+2i)(1+4i)
=(3·1−2·4)+(3·4+2·1)i = (3−8)+(12+2)i = −5+14i。
|z₁|=√13, |z₂|=√17, |積|=√221≈14.8661。
(3+2i)/(1+4i)
分子分母同乘 (1−4i)：[(3+2i)(1−4i)]/(1+16)。
=(3+8)+(−12+2)i /17 = (11−10i)/17 ≈ 0.6471−0.5882i。
共軛 3+2i → 3−2i
z̄=3−2i；|z̄|=|z|=√13≈3.6056。
z·z̄ = a²+b² = 13（實數）。
幅角與極式：1+i
|1+i|=√2≈1.4142，θ=45°（π/4）。
極式：√2(cos45°+i sin45°)=√2·e^{iπ/4}。
純虛數 i²=−1
i·i = −1；|i|=1，θ=90°。
i 的極式：1·e^{iπ/2}。
常見問題
i 是什麼？
i 是虛數單位，定義 i²=−1。複數寫成 a+bi，a 為實部、b 為虛部。
複數除法怎麼算？
分子分母同乘分母的共軛 z̄₂=c−di，使分母成為實數 c²+d²，再分實虛部。
模數與幅角是什麼？
模數 |z|=√(a²+b²) 是到原點距離；幅角 θ=atan2(b,a) 是與正實軸夾角（弧度或度）。
極式有什麼用？
極式 r(cosθ+i sinθ) 便於乘法（模相乘、角相加）與冪次/根（棣美弗定理）；工程常用 e^{iθ} 形式。
共軛複數有什麼性質？
z·z̄=a²+b²=|z|² 為實數；共軛用於除法、求實部 (z+z̄)/2 與虛部 (z−z̄)/(2i)。
為什麼結果含 − 符號？
虛部負時以「減號 + 數值 i」顯示（如 3−2i）；這是標準寫法。
與交流電路有關？
阻抗、相位常以複數表示；i 在電機常用 j 以免與電流 i 混淆，但意義相同。
幅角有主值嗎？
幅角多值（差 2π 整數倍）；本工具給主值於 (−180°,180°] 或 [0,360°)，可視需求加減 360°。
相關工具
參考資料
內容審核：計算主義科學團隊。複數加減乘除、共軛、模數、幅角與極式邏輯已驗證。