圓心角計算器
輸入弧長與半徑（或直徑），求圓心角。輸出度數與弧度。拱形設計、扇形規劃、地圖量度必備。
輸入資料
計算結果
重點速覽：圓心角（Central Angle）是以圓心為頂點、兩條半徑為邊的角。弧度制下，弧長與半徑之比正是圓心角的大小：θ = L/r。因此，給定弧長 L 與半徑 r，即可求出圓心角；換算為度數時乘以 180/π。例如半徑 10、弧長 15.7，θ = 15.7/10 = 1.57 rad ≈ 90°。圓心角亦可表達為佔全圓的比例：θ°/360°。
計算公式
弧度制：θ = L ÷ r
度數制：θ° = (L ÷ r) × 180 ÷ π
佔全圓比例：θ° ÷ 360°
例：r=10、L=15.7 → θ = 1.57 rad ≈ 90°
$$\theta = \frac{L}{r}$$$$\theta^\circ = \frac{L}{r} \cdot \frac{180^\circ}{\pi}$$使用說明
- 輸入弧長 L（弧的曲線長度）。
- 輸入半徑 r（或按直徑 ÷2 換算）。
- 系統計算圓心角的度數與弧度。
- 驗證：r=10、L≈15.71 → θ≈90°。
弧長與圓心角對照（r = 10）
| 弧長 | 圓心角（弧度） | 圓心角（度） | 佔全圓 |
|---|---|---|---|
| 5.24 | 0.524 | 30° | 8.3% |
| 7.85 | 0.785 | 45° | 12.5% |
| 10.47 | 1.047 | 60° | 16.7% |
| 15.71 | 1.571 | 90° | 25% |
| 31.42 | 3.142 | 180° | 50% |
| 62.83 | 6.283 | 360° | 100% |
弧長 = r×θ(rad)。整圓周長 2πr 對應圓心角 360° = 2π rad。
理財情境案例
設計與建築
拱門設計：半徑 5m、弧長 7.85m → θ = 1.57 rad = 90°。
扇形蛋糕或餅圖：已知弧形邊長與半徑，求扇形角度。
圓形跑道彎道設計需確切圓心角以規劃線路。
工程與量度
管道彎曲：彎管半徑 1m、彎曲長度 3.14m → θ = 3.14 rad ≈ 180°。
地圖量度：在圓形湖泊邊緣量得弧長與半徑，求其所張角度。
齒輪與凸輪設計中以圓心角定義工作角度。
常見問題
圓心角、弧長與扇形面積有何關係？
三者可互換：θ = L/r（弧度），扇形面積 A = ½·r²·θ = ½·L·r。知道任意兩個量即可求第三個。
為甚麼用弧度表示圓心角？
弧度定義為弧長與半徑之比，使公式 θ = L/r 最簡潔，並令微積分中的三角函數公式更優雅。一整圈 = 2π rad = 360°。
圓心角最大是 360° 嗎？
就一次繞圓而言是。圓心角可以超過 360°（優角），代表弧長超過一個圓周，例如 θ=450° 對應 1.25 圈。
輸入直徑可以嗎？
可以。直徑 d = 2r，先除以 2 得半徑再代入 θ = L/r 即可。
圓心角與圓周角有何分別？
圓心角的頂點在圓心，圓周角的頂點在圓周上。同弧所對的圓周角是圓心角的一半，這是圓的幾何基本定理。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。圓心角公式、弧度制換算與扇形關係驗證。