三維空間兩點距離計算器
輸入三維空間兩點的坐標 (x₁,y₁,z₁) 與 (x₂,y₂,z₂)，求空間直線距離。立體幾何、3D 建模、物理向量必備。
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計算結果
重點速覽：三維空間兩點距離（3D Distance）指立體直角坐標系中兩點之間的直線距離。給定 A(x₁,y₁,z₁) 與 B(x₂,y₂,z₂)，三方向差量為 Δx = x₂−x₁、Δy = y₂−y₁、Δz = z₂−z₁，由畢氏定理推廣可得 d = √(Δx² + Δy² + Δz²)。此即歐幾里得距離在 R³ 空間的標準定義。若 Δz = 0，公式退化為平面距離；若 Δy 與 Δz 皆為 0，退化為數線上的一維距離 |x₂−x₁|。
計算公式
d = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²]
其中 Δx = x₂ − x₁、Δy = y₂ − y₁、Δz = z₂ − z₁。
例：A(1,2,3)、B(4,6,3) → d = √(3² + 4² + 0²) = √25 = 5
$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$使用說明
- 輸入第一點的三維坐標 (x₁, y₁, z₁)。
- 輸入第二點的三維坐標 (x₂, y₂, z₂)。
- 系統計算兩點的空間直線距離。
- 兩點重疊時距離為 0；所有坐標可為負數或小數。
常見三維點對距離示例
| 點一 | 點二 | 距離 |
|---|---|---|
| (0, 0, 0) | (3, 4, 12) | 13 |
| (1, 2, 3) | (4, 6, 3) | 5 |
| (1, 1, 1) | (2, 2, 2) | 1.73 |
| (0, 0, 0) | (1, 1, 1) | 1.73 |
以 d = √(Δx²+Δy²+Δz²) 計算。若 Δx²+Δy²+Δz² 為完全平方數，距離為整數。
理財情境案例
立體幾何與物理
A(1,2,3)、B(4,6,3)：d = √(9+16+0) = 5（水平面上的距離）。
正方體對角線：邊長 a 的立方體，體對角線長 a√3。
物理位移：物體由 (0,0,0) 移動到 (3,4,12) → 位移 √(9+16+144) = 13。
工程與 3D 技術
3D 建模：計算兩頂點之間的距離，用於碰撞檢測與網格處理。
無人機三維定位：以 (Δx,Δy,Δz) 求與目標的空間距離。
分子結構：以原子三維坐標計算原子間距離。
常見問題
這與平面距離公式有何關係？
三維距離是平面距離的推廣：額外加入 z 方向差量的平方。當 z₁ = z₂（Δz=0）時公式即退化為平面兩點距離。
對角線長度如何計算？
長方體長 a、闊 b、高 c 的體對角線為 √(a²+b²+c²)；正方體邊長 a 則為 a√3 ≈ 1.73a。
什麼是四維或更高維的距離？
公式自然推廣：n 維空間的歐幾里得距離為 √(Δx₁² + Δx₂² + … + Δxₙ²)。機器學習中的向量距離即常用此法。
距離可以是負數嗎？
不可以。距離是長度，恆為非負值。若兩點相同則距離為 0。
在球面上如何量度距離？
球面上兩點的最短距離是沿大圓的弧長（大圓距離），需用球面三角（Haversine 公式），而非直線的三維距離。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。三維歐幾里得距離公式、畢氏定理推廣驗證。