連續複利計算器
以連續複利公式 FV = P·e^(rt) 計算本金的未來值與利息。
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重點速覽：連續複利 (continuous compounding) 是複利頻率趨於無限大 (每時每刻都在複利) 的極限情況，是理論上複利效應的上限。未來值以自然指數計算：FV = P × e^(r×t),其中 e ≈ 2.71828。它常用於數理金融、期權定價與利率理論；等效有效年利率 = e^r − 1。
計算公式
未來值 FV = P × e^(r × t)，其中 P 為本金、r 為年利率、t 為年期、e ≈ 2.71828。
總利息 = FV − P。
等效有效年利率 = e^r − 1。
$$未來值：$FV = P\,e^{rt}$$$$$總利息：$Interest = FV - P$$$$$等效有效年利率：$EAR = e^{r}-1$$$$$示例 (12%、1 年)：$1000\times e^{0.12}\approx1127.50$$$使用說明
- 輸入本金。
- 輸入年利率與年期。
- 即時顯示連續複利下的未來值、總利息與等效有效年利率。
本金 HK$100,000、年利率 5% 在不同複利頻率下的一年後金額
| 複利頻率 | 一年後金額 (HK$) | 有效年利率 |
|---|---|---|
| 每年 (1 次) | 105,000.00 | 5.0000% |
| 每月 (12 次) | 105,116.19 | 5.1162% |
| 每日 (365 次) | 105,126.75 | 5.1267% |
| 連續複利 | 105,127.11 | 5.1271% |
情境案例
案例一：連續複利的未來值與利息
本金 HK$50,000，年利率 8%,以連續複利計 10 年。
未來值 = 50,000 × e^(0.08×10) = 50,000 × e^0.8 ≈ HK$111,277.05；總利息 = 111,277.05 − 50,000 ≈ HK$61,277.05；等效有效年利率 = e^0.08 − 1 ≈ 8.3287%。
解讀：10 年後本利和約為本金的 2.2 倍，賺得利息約 HK$61,277。注意等效有效年利率 (8.3287%) 高於名目的 8%,這多出來的部分正是『連續不斷把利息滾入本金再生息』的複利威力。
案例二：連續複利 vs 每日複利，差多少？
以年利率 5% 比較：連續複利的等效有效年利率 = e^0.05 − 1 ≈ 5.1271%；每日複利 (365 次) 的有效年利率 = (1 + 0.05/365)^365 − 1 ≈ 5.1267%。
兩者只差約 0.0004 個百分點——以 HK$100,000 本金計，一年下來連續複利只比每日複利多賺約 HK$0.36。
解讀：連續複利雖然是理論上限，但在常見利率水平下，它與每日複利的差距微乎其微。因此現實中的存款產品用『每日／每月複利』就已極接近連續複利的效果，連續複利更多是用於金融模型 (如 Black-Scholes 期權定價) 的數學工具。本計算器讓你直觀看到連續複利的結果與等效年利率。
常見問題
甚麼是連續複利？
連續複利假設利息在每一瞬間都即時滾入本金，是複利頻率趨向無限大的理論極限。相同名目利率下，連續複利會產生最高的未來值。
連續複利與每日複利差多少？
差異非常細微。以 12% 年利率、本金 1,000 為例，每日複利一年約得 1,127.47，連續複利約 1,127.50，只相差幾分錢。連續複利多用於理論分析。
連續複利在現實中真的存在嗎？主要用在哪裡？
嚴格來說，現實世界的銀行存款不會『每一瞬間』都結算並滾存利息，所以純粹的連續複利在日常儲蓄產品中並不直接存在——實務上最頻密的通常是『每日複利』。不過如同案例所示，當複利頻率高到每日時，結果已經非常接近連續複利的理論上限，兩者差距微乎其微。那連續複利主要用在哪裡？第一，『數理金融與衍生工具定價』:連續複利的數學形式 (自然指數 e^(rt)) 非常簡潔，微分、積分都很方便，因此在期權定價模型 (如著名的 Black-Scholes 模型)、利率模型、債券與衍生工具的理論計算中，普遍假設利率以連續複利計。第二，『學術與教學』:用連續複利可以乾淨地表達『複利效應的極限』,方便推導與比較。第三，『不同計息方式的換算基準』:金融分析中常把各種名目利率統一換算成連續複利利率 (稱為 force of interest) 以便比較。所以你可以把連續複利理解為『複利的理論極致』——它在教科書、金融模型與學術研究中很常見，但一般消費者接觸到的實際產品，最多是每日複利。本計算器用連續複利公式，適合教學、理論估算與理解複利上限。
自然常數 e 是什麼？為什麼連續複利會用到它？
e 是數學中的『自然常數』,約等於 2.71828…，是一個無理數 (小數無限不循環),與圓周率 π 一樣是數學中最重要的常數之一。它之所以會出現在連續複利，源於一個經典的數學極限：若把『1 元、年利率 100%』的複利次數不斷增加——每年一次得到 2 元、每半年一次得到 2.25 元、每季得到約 2.44 元、每月約 2.61 元、每日約 2.7146 元……當複利次數趨向無限大 (即連續複利) 時，這個數值會收斂到一個固定的極限，而這個極限值正好就是 e ≈ 2.71828。換句話說，e 天生就是『連續複利』這個過程的數學產物。因此，把利率與時間一般化後，本金 P 以年利率 r 連續複利 t 年的未來值，就自然寫成 FV = P × e^(r×t) 的簡潔形式。e 除了在複利，也大量出現在自然界的連續增長／衰減現象 (如人口增長、放射性衰變)、機率統計、微積分等領域，可說是描述『連續變化』最核心的常數。使用本計算器時你不需要手動處理 e，公式已內建，只要輸入本金、年利率與年期即可得出連續複利結果。
連續複利算出的『等效有效年利率』有什麼用？
等效有效年利率 (EAR) 是把連續複利換算成『相當於每年複利一次』的年利率，計算公式是 e^r − 1 (r 為名目年利率)。它的最大用處，是讓不同計息方式的產品可以放在同一基準上『公平比較』。舉例：一個產品標示『年利率 8%,連續複利』,你很難直接和另一個『年利率 8.2%,每年複利一次』的產品比高下——因為計息方式不同。這時把連續複利的 8% 換算成等效有效年利率 = e^0.08 − 1 ≈ 8.3287%,就一目了然：連續複利的 8% 實際上比每年複利的 8.2% 更划算。換句話說，等效有效年利率把『複利頻率』這個變數消除了，還原成大家都能理解的『一年實際能賺／付多少百分比』。這個概念和存款產品常用的 APY (年度百分比收益率)、借貸產品的實際年利率是同一套邏輯——都是為了看穿名目利率背後、計入複利後的真實年率。因此，無論你是要比較存款、投資回報，還是評估借貸成本，只要把各種計息方式統一換算成有效年利率，就不會被『相同名目利率、不同複利方式』的表象誤導。本計算器會直接輸出連續複利的等效有效年利率，方便你與其他產品比較。
相關工具
參考資料
內容審核：計算主義財經團隊。計算邏輯與公式參考香港金融管理局（HKMA）及投資者及理財教育委員會（IFEC）之個人理財計算指引，結果僅供參考，實際以相關機構公佈為準。