楊氏模量計算器
輸入施力、原長、截面積與伸長量，計算楊氏模量。銅 F=100N, L=1m, A=1e-4m², ΔL=1mm → E≈1e11Pa。
輸入資料
計算結果
重點速覽：楊氏模量（Thomas Young 1807，英國物理學家）：材料在線彈性範圍（胡克定律適用區）內，正向應力 σ 與正向應變 ε 之比 E=σ/ε=(F/A)/(ΔL/L)=F·L/(A·ΔL)。物理意義：(1) E 表徵材料剛度——E 越大越難變形（剛）、越小越易變形（柔）；(2) 應力 σ=F/A（Pa，單位面積受力）、應變 ε=ΔL/L（無量綱，相對變形）；(3) 胡克定律 σ=E·ε 為線彈性本構關係，適用小變形（ε<0.1%）；(4) 超過屈服強度後材料進入塑性變形（永久變形），胡克定律失效；(5) E 為材料固有屬性與形狀無關，與溫度有關。楊氏模量範圍：橡膠 0.01-0.1 GPa（極柔）；聚合物 0.1-5 GPa；木材 5-15 GPa；混凝土 20-40 GPa；玻璃 50-80 GPa；鋁 69 GPa；銅 117 GPa；鋼 200 GPa；鎢 400 GPa；金剛石 1000 GPa（最剛）。歷史：Young 1807 提出模量概念，Cauchy 1820s 系統化應力應變張量。應用：(1) 結構工程（樑、柱、桁架剛度計算）；(2) 材料選擇（航空用鈦合金高 E/ρ）；(3) 建築力學（地震、風荷載）；(4) 機械設計（軸、彈簧、軸承）；(5) 土木工程（混凝土、鋼筋、地基）；(6) 生物力學（骨骼 E≈20GPa、血管 E≈1MPa）。
計算公式
楊氏模量：E = σ / ε = (F/A) / (ΔL/L) = F·L / (A·ΔL)
應力：σ = F / A
應變：ε = ΔL / L
胡克定律：σ = E·ε
彈性位能：U = ½·E·ε²·V = ½·F·ΔL
$$E = \frac{\sigma}{\varepsilon} = \frac{F/A}{\Delta L/L} = \frac{F L}{A\,\Delta L}, \quad \sigma = \frac{F}{A}, \quad \varepsilon = \frac{\Delta L}{L}, \quad \sigma = E\varepsilon$$使用說明
- 輸入施力 F（N）。
- 輸入原長 L（m）。
- 輸入截面積 A（m²）。
- 輸入伸長量 ΔL（m）。
- 系統計算楊氏模量 E。
常見材料楊氏模量（F=100N, L=1m, A=1e-4m²）
| 材料 | E (GPa) | ΔL (mm) | 剛度 |
|---|---|---|---|
| 橡膠 | 0.05 | 20000 | 極柔 |
| 聚合物 | 3 | 333 | 柔 |
| 木材 | 10 | 100 | 中 |
| 混凝土 | 30 | 33.3 | 中硬 |
| 玻璃 | 70 | 14.3 | 硬 |
| 鋁 | 69 | 14.5 | 硬 |
| 銅 | 117 | 8.55 | 硬 |
| 鋼 | 200 | 5.0 | 很硬 |
| 金剛石 | 1000 | 1.0 | 極硬 |
E 越大伸長越小（同應力下）。橡膠 E=0.05GPa 故伸長 20m（極柔），鋼伸長 5mm（剛）。材料選擇依應用需求。
理財情境案例
建築結構與材料選擇
香港中銀大廈 70 層使用鋼結構（E=200 GPa）與混凝土（E=30 GPa）組合。鋼抗拉、混凝土抗壓，充分利用材料優勢。每層承重數千噸，鋼梁伸長 <1mm。
青馬大橋主纜鋼索 E=200 GPa、長 1377m、截面 0.6m²。承受重力 2000 噸時伸長 ΔL=F·L/(E·A)=2e7×1377/(2e11×0.6)≈0.23m（23 cm，緩衝風荷載）。
材料選擇：航空用鈦合金 E=110 GPa、密度 4500 kg/m³，E/ρ 比 24（優於鋼 25）。聚合物 E 小但輕，用於非承力件。
生物力學與醫學應用
骨骼 E≈20 GPa（硬）、軟骨 E≈1 MPa（柔）、血管 E≈1 MPa、皮膚 E≈0.5 MPa。不同組織 E 差 4 個數量級——骨骼承力保護、軟骨緩衝、血管彈性搏動。
骨科植入物：鈦合金 E≈110 GPa，高於骨骼 20 GPa 5 倍。應力遮蔽效應使骨質疏鬆（缺少應力刺激）。新一代可降解鎂合金 E≈45 GPa 更接近骨。
香港大學醫學院生物力學研究。動脈硬化使血管 E 升高、彈性降低、血壓升高。量測脈搏波速（PWV）反推血管 E，診斷心血管疾病。
常見問題
楊氏模量與剛度區別？
楊氏模量 E 為材料固有屬性（單位 Pa），與形狀無關。剛度 k=F/ΔL=EA/L 為結構屬性，與截面 A 正比、長度 L 反比。同材料（E 相同）粗短桿剛度大、細長桿剛度小。工程設計既選材料（E）又選截面（A、L）。彈簧利用細長鋼絲（L 大、A 小）使 k 小，故鋼雖硬但彈簧柔軟。
為什麼橡膠軟而金剛石硬？
E 表徵原子鍵強度。金剛石共價鍵極強 E=1000 GPa。金屬金屬鍵中等 E=50-400 GPa。聚合物分子間力弱 E=0.1-5 GPa。橡膠高分子鏈捲曲展開（熵彈性）E=0.01-0.1 GPa，與鍵能無關——故橡膠可拉伸數倍而恢復（不同於金屬彈性變形 <0.1%）。金剛石拉伸 0.1% 即斷裂。
胡克定律適用範圍？
胡克定律 σ=Eε 適用線彈性範圍：應變 ε < 彈性極限（金屬約 0.1-0.5%）。超過屈服強度 σ_y 進入塑性變形（永久變形不可恢復）。鋼 σ_y≈250 MPa（ε≈0.125%）、鋁 σ_y≈30 MPa。塑性用於加工成型（鍛造、軋延）。塑性變形後材料硬化（位錯堆積）。混凝土、石材無塑性，超過彈性即脆性斷裂。
楊氏模量與溫度關係？
溫度升高原子熱運動加劇、鍵平均距離增大、鍵強降低，E 隨溫度降低。鋼 E(20℃)=200 GPa、500℃ 時降至 170 GPa、1000℃ 降至 100 GPa。高溫結構需耐熱材料（鉻鉬鋼、陶瓷）。形狀記憶合金（NiTi）溫度變化引起馬氏體相變，E 突變。聚合物 Tg 以下玻璃態 E 高、Tg 以上橡膠態 E 低數個數量級。
如何測量楊氏模量？
(1) 拉伸試驗：試棒加力測 F-ΔL 曲線，斜率=E（ASTM E8 標準）。(2) 超聲波法：測縱波速 v=√(E/ρ)，反推 E。(3) 奈米壓痕：壓頭壓入材料，測 F-h 曲線反推 E（薄膜、微區）。(4) 共振法：測懸臂樑共振頻率 f∝√(E/ρ)。香港大學材料力學實驗室常規拉伸試驗。ASTM、ISO 標準化測試。誤差來源：夾具、溫度、應變率。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。E=σ/ε=F·L/(A·ΔL)。Young 1807。胡克定律 σ=Eε。鋼 200GPa、橡膠 0.05GPa、金剛石 1000GPa。建築、生物力學應用。