斯涅爾定律計算器
輸入兩介質折射率與入射角，計算折射角與全內反射。空氣→水 n₁=1, n₂=1.33, θ₁=30° → θ₂≈22°。
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計算結果
重點速覽：斯涅爾定律（Willebrord Snellius 1621，荷蘭天文學家）：光從介質1進入介質2時，入射角 θ₁ 與折射角 θ₂ 滿足 n₁sinθ₁=n₂sinθ₂，其中 n₁、n₂ 為兩介質的絕對折射率（相對真空）。折射率 n=c/v，c 為真空中光速、v 為介質中光速。物理意義：(1) 光從光疏介質（低 n）進入光密介質（高 n）時折射角小於入射角，光線偏向法線；(2) 反之從光密進入光疏時折射角大於入射角；(3) 當 sinθ₂>1 時發生全內反射——所有光被反射回原介質，無折射光；(4) 全內反射臨界角 θ_c=arcsin(n₂/n₁)（當 n₁>n₂）。歷史：Snell 1621 發現定律但未發表，Descartes 1637 獨立推導並發表。Fermat 原理（光走時間極值路徑）可推導斯涅爾定律。應用：(1) 透鏡成像（眼鏡、相機、顯微鏡）；(2) 光纖通信（全內反射傳輸光信號，損耗 0.2 dB/km）；(3) 稜鏡色散（不同波長折射率不同，太陽光分光為彩虹）；(4) 海市蜃樓（空氣溫度梯度折射率變化）；(5) 彩虹形成（水滴內全反射+色散）。
計算公式
斯涅爾定律：n₁·sin(θ₁) = n₂·sin(θ₂)
折射角：θ₂ = arcsin(n₁·sin(θ₁) / n₂)
臨界角：θ_c = arcsin(n₂ / n₁)（n₁ > n₂ 時）
全內反射條件：sin(θ₂) > 1
折射率：n = c / v
$$n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2, \quad \theta_2 = \arcsin\left(\frac{n_1 \sin\theta_1}{n_2}\right), \quad \theta_c = \arcsin\left(\frac{n_2}{n_1}\right)$$使用說明
- 輸入介質1折射率 n₁（空氣 1）。
- 輸入入射角 θ₁（°，30）。
- 輸入介質2折射率 n₂（水 1.33）。
- 系統計算折射角 θ₂ 與全內反射判斷。
空氣(n=1)→各介質 入射角30° 折射角
| 介質 | n₂ | θ₂ (°) | 臨界角 θ_c (°) |
|---|---|---|---|
| 水 | 1.33 | 22.1 | 48.8 |
| 玻璃 | 1.50 | 19.5 | 41.8 |
| 鑽石 | 2.42 | 12.1 | 24.4 |
| 藍寶石 | 1.77 | 16.6 | 34.4 |
| 真空 | 1.00 | 30.0 | — |
n₂>n₁ 時折射角小於入射角（偏向法線）。鑽石折射率最高 2.42 故折射角最小、色散強烈閃耀。
理財情境案例
光纖通信與全內反射
光纖芯折射率 n₁≈1.48、包層 n₂≈1.46，全內反射臨界角 θ_c=arcsin(1.46/1.48)≈80.6°。光信號以小於臨界角的角度入射，在芯-包層界面全反射沿光纖傳輸。
香港寬頻、HKBN、中國移動等電信商海底光纜連接全球。單模光纖損耗 0.2 dB/km（1550 nm），可傳輸數十公里無中繼。
光纖優勢：頻寬極大（THz）、抗電磁干擾、體積小。海底光纜橫跨太平洋連接亞美。斯涅爾定律為光纖設計基礎。
彩虹形成與稜鏡色散
彩虹：陽光入射雨滴，在水滴內全反射後折射出射。水折射率隨波長略變（藍 1.34、紅 1.331），色散使不同色光以不同角度出射，形成 42° 主虹、51° 副虹。
稜鏡分光：不同波長折射率不同（玻璃 紅 1.514、紫 1.532），白光經稜鏡分散為光譜。牛頓 1666 用稜鏡證明白光為複合光。
香港天文台夏季常見彩虹。雙彩虹（主虹+副虹）因兩次全內反射。色彩順序相反——副虹外紅內紫。
常見問題
為什麼光從光密進入光疏介質時可能全反射？
n₁>n₂ 時 sinθ₂=n₁sinθ₁/n₂，當 θ₁ 增大至臨界角 θ_c=arcsin(n₂/n₁) 時 sinθ₂=1（θ₂=90°）。θ₁>θ_c 時 sinθ₂>1 無解——所有光被反射回原介質，稱全內反射。光纖、稜鏡全反射轉向、鑽石內部閃耀皆利用此現象。光從光疏進入光密（n₁<n₂）不可能全反射。
折射率與光速關係？
n=c/v。c=2.998e8 m/s 為真空中光速（極限速度），v 為介質中光速。水 n=1.33 故 v=c/1.33≈2.25e8 m/s；玻璃 n=1.5 故 v=2e8 m/s；鑽石 n=2.42 故 v=1.24e8 m/s。光在介質中變慢——微觀：光子被原子吸收再發射，等效速度降低。群速度與相速度區別在色散介質中重要。
為什麼鑽石特別閃耀？
鑽石折射率 n=2.42（天然寶石最高），全內反射臨界角僅 24.4°。光線進入鑽石後大部分在內部全反射多次，最終從頂部出射。切割角度（圓形明亮式 57-58 面）經計算使全反射最大化。色散 0.044（高）使白光分散為彩虹色。故鑽石閃耀火彩。合成莫桑石 n=2.65 更高但色散過強。
海市蜃樓是怎麼形成的？
沙漠地表溫度極高，貼近地表空氣密度低（折射率低），上層空氣密度高（折射率高）。光從上層（高 n）進入下層（低 n）時連續折射，當入射角超過臨界角發生全內反射，光線向上彎曲。觀察者看到天空倒影在地面，誤以為是水——下蜃景。冰冷海面上方暖空氣形成上蜃景（船懸浮空中）。梯度折射率光學。
Fermat 原理如何推導斯涅爾定律？
Fermat 原理：光走時間極值路徑（極小或極大）。兩介質中光速 v₁=c/n₁、v₂=c/n₂。路徑時間 T=√(x₁²+a²)/v₁ + √(x₂²+b²)/v₂。d T/d x₁=0 推得 sinθ₁/v₁=sinθ₂/v₂，即 n₁sinθ₁=n₂sinθ₂。Fermat 原理統一幾何光學——反射、折射皆從極值原理推導，與變分法、最小作用量原理對應。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。n₁sinθ₁=n₂sinθ₂。Snell 1621、Descartes 1637。全內反射 θ_c=arcsin(n₂/n₁)。光纖、彩虹、鑽石閃耀。Fermat 原理推導。