終端速度計算器

重點速覽：當一個物體在流體（空氣或水）中自由下落，一開始重力使它加速，速度愈快、流體阻力愈大；當『向下的重力』恰好等於『向上的流體阻力』時，合力為零、加速度為零，速度便不再增加，這個穩定的最大速度稱為『終端速度（terminal velocity）』或極限速度。以二次阻力模型（高雷諾數、阻力 ∝ v²）推導：阻力 Fd = ½·Cd·ρ·A·v²，令它等於重力 W = m·g，即 ½·Cd·ρ·A·v² = m·g，解出 v = √(2·m·g ÷ (ρ·A·Cd))，其中 v 是終端速度（m/s）、m 是質量（kg）、g 是重力加速度（9.81 m/s²）、ρ 是流體密度（kg/m³）、A 是迎流投影面積（m²）、Cd 是阻力係數（無因次）。逐項解釋。分子 2mg 是重力的貢獻——愈重的物體終端速度愈大；分母 ρ·A·Cd 是阻力的貢獻——流體愈密、面積愈大、外形愈鈍（Cd 大），終端速度愈小。因為是平方根關係，質量變 4 倍終端速度僅變 2 倍。舉例，一顆棒球 m = 0.145 kg、空氣 ρ = 1.225 kg/m³、迎流面積 A ≈ 0.0042 m²、Cd ≈ 0.35：v = √(2×0.145×9.81 ÷ (1.225×0.0042×0.35)) = √(2.8449 ÷ 0.0018008) ≈ √1580 ≈ 39.75 m/s（約 143 km/h）。用途：其一，估算雨滴、冰雹、種子、花粉、孢子在空氣中的沉降／飄散速度（生態與農業散播）；其二，跳傘、降落傘的下降速度設計（展開傘 Cd 與 A 大增，終端速度由自由落體的約 55 m/s 降到約 5~6 m/s）；其三，顆粒在水中的沉降分離（沉砂池、淨水）；其四，物體落水、落地的撞擊速度上限估算。使用終端速度與本工具要注意幾點：一是本式為『二次阻力（湍流阻力）』模型，適用較大、較快的物體（高雷諾數）；極微小顆粒（低雷諾數、層流）應改用 Stokes 沉降公式（阻力 ∝ v）；二是 Cd 與 A 隨物體姿態、外形改變（例如跳傘者伸展或收攏），要用對應值；三是浮力對高密度物體在空氣中可忽略，但顆粒在水中沉降時須以有效重力（扣除浮力）修正；四是單位一致（SI）。總之，終端速度由 v=√(2mg/(ρACd)) 求得，是重力與流體阻力平衡下的極限速度。