常態分佈計算器
輸入數值、均值與標準差，計算常態分佈下的累積機率 P(X≤x) 與右尾機率 P(X>x)。
輸入資料
計算結果
重點速覽：常態分佈下，P(X ≤ x) = Φ((x−μ)/σ)，其中 Φ 為標準常態累積分佈函數（面積）。先將觀測值標準化為 Z 分數 z = (x−μ)/σ，再查 Φ(z)。右尾 P(X>x) = 1−Φ(z)。Φ 不可寫成初等函數，本工具以 erf 近似計算。
計算公式
z = (x − μ) / σ
P(X ≤ x) = Φ(z)
P(X > x) = 1 − Φ(z)
區間：P(a < X < b) = Φ(z_b) − Φ(z_a)
$$P(X \le x) = \Phi\!\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)$$$$f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-(x-\mu)^2/(2\sigma^2)}$$使用說明
- 輸入觀測值 x、均值 μ、標準差 σ（σ>0）。
- 計算器輸出 Z 分數 z。
- 輸出累積機率 P(X ≤ x) 與右尾機率 P(X > x)。
- 例如 x=85, μ=75, σ=10 → z=1，P(X≤85)≈0.8413。
標準常態 Φ(z) 速查
| z | Φ(z) | 右尾 1−Φ(z) |
|---|---|---|
| 0 | 0.5000 | 0.5000 |
| 1 | 0.8413 | 0.1587 |
| 1.645 | 0.9500 | 0.0500 |
| 1.96 | 0.9750 | 0.0250 |
| 2 | 0.9772 | 0.0228 |
| 2.576 | 0.9950 | 0.0050 |
Φ(−z) = 1 − Φ(z)（對稱性）。
情境案例
x=85, μ=75, σ=10
z = (85−75)/10 = 1。
P(X≤85) = Φ(1) ≈ 0.8413；右尾 P(X>85) ≈ 0.1587。
成績門檻 x=90
μ=75, σ=10 → z=1.5。
P(X≤90)=Φ(1.5)≈0.9332，即約 93.3% 低於 90 分。
區間 μ±σ 約 68%
P(μ−σ<X<μ+σ)=Φ(1)−Φ(−1)=0.8413−0.1587=0.6826。
製程良率 70–80
μ=75, σ=2 → z_low=−2.5, z_high=2.5。
P = Φ(2.5)−Φ(−2.5) ≈ 0.9876−0.0062 = 0.9814（良率 98.14%）。
Z 表查表 z=1.96
Φ(1.96) ≈ 0.9750；右尾 0.0250。
對應 95% 信賴區間的雙尾臨界值。
68–95–99.7 驗證
z=2 → Φ(2)≈0.9772，右尾 0.0228。
μ±2σ 含約 95.44%，符合經驗法則。
常見問題
68–95–99.7 法則是什麼？
常態分佈約 68% 落在 μ±σ、95% 落在 μ±2σ、99.7% 落在 μ±3σ。可由本計算器的累積機率驗證。
計算使用的近似夠準嗎？
採用標準 erf 近似 (Abramowitz & Stegun 7.1.26)，最大誤差約 1.5×10⁻⁷，足以滿足一般統計與教學需求。
Z 分數是什麼？
Z 分數 z=(x−μ)/σ 將觀測值標準化，表示它距均值多少個標準差；正值在均值右、負值在左。
為什麼要轉成 Z？
任何常態都可化為標準常態 N(0,1)，因此只需一張 Φ(z) 表（或本計算器）即可求任意常態的機率。
右尾與左尾差別？
P(X>x)=1−Φ(z) 為右尾（大於 x 的機率）；P(X≤x)=Φ(z) 為左尾累積。兩者互補。
怎麼算區間 P(a<X<b)？
分別標準化 a, b 得 z_a, z_b，區間機率 = Φ(z_b) − Φ(z_a)。本工具給單點累積，相減即得區間。
什麼時候用常態分佈？
許多自然與社會現象（身高、誤差、測量）近似常態；中心極限定理也讓樣本均值趨近常態，故廣泛用於統計推論。
σ 很小或很大會怎樣？
σ 越小鐘形越尖、資料越集中；σ 越大越平扁、機率越分散。σ 必須大於 0。
參考資料
內容審核：計算主義科學團隊。常態分佈累積機率公式依據 NIST 統計方法手冊驗證。