斯托克斯定律計算器
輸入流體黏度、球半徑與密度，計算終端速度與雷諾數。水滴 η=1e-3, r=1mm → v_t≈2.18 m/s。
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計算結果
重點速覽：斯托克斯定律（George Gabriel Stokes 1851，愛爾蘭數學物理學家）：低雷諾數（Re=ρ_fvd/η≪1，蠕動流）下，球體在黏性流體中運動所受阻力 F=6πηrv，其中 η 為流體黏度、r 為球半徑、v 為相對速度。終端速度：當重力浮力差=阻力時，(4/3)πr³(ρ_p−ρ_f)g=6πηrv_t，解得 v_t=2r²g(ρ_p−ρ_f)/(9η)。雷諾數 Re=ρ_f·v·2r/η 表徵慣性力/黏性力比，Re<1 適用定律。推導：Navier-Stokes 方程於 Re≪1 略去慣性項，解得球周圍流場，積分剪應力與壓力得阻力 6πηrv。物理意義：(1) 終端速度 ∝ r²（小球慢、大球快）；(2) v_t ∝ (ρ_p−ρ_f)（密度差為沉降驅動力）；(3) v_t ∝ 1/η（黏性阻礙）；(4) 高 Re 時阻力變為 ∝v²（牛頓阻力），需修正。歷史：Stokes 1851 推導，奠定低 Re 流體力學。應用：(1) 沉降法測黏度、粒徑；(2) 離心分離、密度梯度；(3) 氣溶膠、粉塵沉降；(4) 血液紅血球沉降率（ESR）；(5) 油水分離、選礦；(6) 雨滴終端速度。
計算公式
斯托克斯阻力：F = 6πηrv
終端速度：v_t = 2r²g(ρ_p − ρ_f)/(9η)
雷諾數：Re = ρ_f·v·2r/η
重力浮力差：(4/3)πr³(ρ_p − ρ_f)g
適用範圍：Re ≪ 1（蠕動流）
$$F = 6\pi\eta r v, \quad v_t = \frac{2r^2 g(\rho_p - \rho_f)}{9\eta}, \quad Re = \frac{\rho_f v \cdot 2r}{\eta}$$使用說明
- 輸入流體黏度 η（Pa·s，水 1e-3）。
- 輸入球半徑 r（m，雨滴 1e-3）。
- 輸入球密度 ρ_p（kg/m³，水 1000）。
- 輸入流體密度 ρ_f（kg/m³，空氣 1.225）。
- 系統計算終端速度、阻力與雷諾數。
η=1e-3 Pa·s（水）各球體終端速度
| 物體 | r (m) | ρ_p (kg/m³) | v_t (m/s) | Re |
|---|---|---|---|---|
| 沙粒 | 1e-4 | 2650 | 0.218 | 43.6 |
| 雨滴 | 1e-3 | 1000 | 2.178 | 5.34 |
| 鋼珠 | 5e-3 | 7800 | 65.4 | 1635 |
| 氣泡 | 1e-3 | 1.2 | -2.18 | -5.34 |
| 油滴 | 1e-4 | 900 | -0.022 | -0.44 |
v_t ∝ r²：半徑加倍速度×4。負值表上浮（ρ_p<ρ_f）。Re>1 時實際速度低於斯托克斯預測，需修正。
理財情境案例
雨滴終端速度與氣溶膠
雨滴半徑 1 mm 在空氣中：v_t=2·1e-6·9.81·(1000-1.225)/(9·1.8e-5)≈9.05 m/s（用空氣黏度）。實際雨滴因變形阻力更大 v_t~4-9 m/s。
氣溶膠微粒（PM2.5 r~1e-6 m）：v_t=2e-12·9.81·2000/(9·1.8e-5)≈2e-6 m/s，需數天才沉至地面。故 PM2.5 長期懸浮危害健康。
香港夏季常有暴雨，雨滴變形與合併影響終端速度。霧霾 PM2.5 濃度高時能見度低，與斯托克斯定律相關。
血液沉降 ESR 與黏度測量
紅血球密度 1095 kg/m³、血漿密度 1025 kg/m³、血漿黏度 1.2e-3 Pa·s、紅血球半徑 4e-6 m。v_t=2·(4e-6)²·9.81·70/(9·1.2e-3)≈8.2e-6 m/s。
紅血球沉降率（ESR）：1 小時沉降高度。正常 <15 mm/h。發炎時血漿纖維蛋白原增多紅血球疊連（rouleaux），等效半徑增大 v_t 加快 ESR 升高。
香港化驗所常規檢測 ESR 協助診斷感染、自體免疫、腫瘤。沉降法亦用於測量懸浮液黏度（落球黏度計）。
常見問題
為什麼斯托克斯定律僅適用 Re<1？
定律推導假設蠕動流（Re≪1），略去 Navier-Stokes 方程的慣性項 (v·∇)v。Re<1 慣性可忽略、黏性主導，阻力 ∝v（線性）。Re>1 慣性顯著，流場出現尾跡、渦流，阻力變為 ∝v²（牛頓阻力）。Re~1-1000 為過渡區，需 Oseen 修正或經驗公式 (Schiller-Naumann)。雨滴 Re~100-1000 故實際速度低於斯托克斯預測。
終端速度為什麼與 r² 成正比？
終端速度 v_t=2r²g(ρ_p−ρ_f)/(9η)。重力浮力差 ∝r³（體積）、阻力 ∝r（斯托克斯 6πηrv）。平衡時 r³∝r·v_t → v_t∝r²。小球重力（∝r³）相對表面（∝r²）小，故慢。沙粒慢於鋼珠。但 r³ 增長快於 r²，故大球仍快於小球。終端速度與 r² 關係使粒徑分離有效——沉降法測粒徑。
為什麼氣泡會上浮？
氣泡密度（~1 kg/m³）小於水（1000 kg/m³），(ρ_p−ρ_f)<0 故 v_t<0，表示向上浮動。氣泡 v_t 與等半徑水滴相反方向但數值相近。肥皂泡、潛水呼吸、沸騰氣泡、深海甲烷氣泡上浮皆同。氣泡變形與表面張力影響實際速度，小氣泡為球形適用斯托克斯。
如何用斯托克斯定律測黏度？
落球黏度計：已知半徑 r、密度 ρ_p 的小球落入待測液體（密度 ρ_f）。測量終端速度 v_t（用計時器與刻度）。由 η=2r²g(ρ_p−ρ_f)/(9v_t) 反推黏度。適用低黏度透明液體。高黏度用旋轉黏度計。香港大學化驗黏度測量用此原理。誤差來源：容器壁影響（Faxén 修正）、非球形粒子、溫度變化。
紅血球沉降率 ESR 為什麼能診斷疾病？
紅血球表面帶負電互相排斥緩慢沉降。發炎時血漿纖維蛋白原、免疫球蛋白增多，中和紅血球表面電荷，紅血球聚集為疊連（rouleaux），等效半徑增大 v_t∝r² 加快 ESR。正常 <15 mm/h。發炎、感染、自體免疫、腫瘤、貧血時 ESR 升高。孕婦、老人 ESR 偏高。香港化驗所常规檢測。注意 ESR 非特異性，需結合其他檢查。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。F=6πηrv。Stokes 1851。Re<1 蠕動流。v_t=2r²g(ρ_p−ρ_f)/(9η)。PM2.5、ESR、落球黏度計。v_t∝r²∝密度差/η。