芮得柏公式計算器
輸入低/高能階主量子數 n₁、n₂（及類氫 Z），計算氫原子/類氫離子的躍遷波長 λ（nm/m）、頻率 f（THz）、光子能量 E（eV），並判定光譜區（UV/可見/IR）。
輸入資料
計算結果
重點速覽：1888 年瑞典物理學家 Johannes Rydberg 在分析一系列元素光譜線後，提出可預測原子（尤其是一價電子的類氫體系）發射/吸收光譜波長的經驗公式：1/λ = R_M·Z²·(1/n₁² − 1/n₂²)。其中 R_M ≈ 1.09678e7 m⁻¹（隨核質量 M 做約化質量修正）為原子的芮得柏常數。n₁ 系列對應歷史命名：Lyman (n₁=1, UV)、Balmer (n₁=2, 可見)、Paschen (n₁=3, IR)、Brackett (n₁=4, IR)、Pfund (n₁=5, IR)、Humphreys (n₁=6, 遠 IR)。這公式後來被波耳 1913 年的原子模型從第一原理推出，是量子力學的關鍵先驅。
計算公式
芮得柏公式（波數形式）：1/λ = R_M · Z² · (1/n₁² − 1/n₂²)，其中 n₂ > n₁ ≥ 1。
R_M（約化質量修正）：R_M = R_∞ / (1 + m_e / M)，R_∞ = 1.0973731568160e7 m⁻¹，M 為核質量。
光子頻率：f = c / λ （Hz）。
光子能量：E = h·f = h·c/λ，h = 6.62607015e-34 J·s；1 eV = 1.602176634e-19 J。
$$\frac{1}{\lambda} = R_M\,Z^2\left(\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}\right)$$$$R_M = \frac{R_\infty}{1 + \dfrac{m_e}{M}}$$使用說明
- 設定低能階 n₁（決定系列）：1 = Lyman、2 = Balmer、3 = Paschen …。
- 設定高能階 n₂（必須 > n₁）。例：Balmer α = (2, 3)，β = (2, 4)，γ = (2, 5)。
- 選擇 Z=1（H）、Z=2（He⁺）… 以切換到類氫離子系列（譜線較短，能量高）。
- 系統自動計算 λ（nm / m）、f（THz）、E（eV），並判斷光譜區（XUV / UV / 可見 / 近中遠 IR）。
- 若 n₂ ≤ n₁，系統會自動糾正為 n₁+1，避免負波長。
H 原子（Z=1）主要系列前幾條譜線
| 系列 | n₁ → n₂ | λ (nm) | 光譜區 | E (eV) |
|---|---|---|---|---|
| Lyman α | 1 → 2 | 121.6 | UV | 10.20 |
| Lyman β | 1 → 3 | 102.6 | UV | 12.09 |
| Balmer α (H-α) | 2 → 3 | 656.5 | 可見-紅 | 1.89 |
| Balmer β (H-β) | 2 → 4 | 486.3 | 可見-藍青 | 2.55 |
| Paschen α | 3 → 4 | 1875 | 近 IR | 0.661 |
| Brackett α | 4 → 5 | 4051 | 中 IR | 0.306 |
理財情境案例
為什麼天空是藍的、夕陽是紅的？Balmer H-α 在天文的角色
Balmer H-α (n₁=2, n₂=3) 波長 ≈ 656 nm（紅光），是恆星光譜最強的吸收/發射譜線之一。天文學家用它量恆星的紅移 z = (λ_obs - λ_rest)/λ_rest。
例如一個遙遠星系，觀測到 H-α 從 656 nm 被拉長到 800 nm → z ≈ 0.22 → 以 v ≈ zc ≈ 6.6e7 m/s 遠離我們。
（補充：天空藍色不是 Balmer，是瑞利散射 ∝ 1/λ⁴——但恆星光譜線與 Rydberg 公式，是人類發現宇宙膨脹的核心證據。）
He⁺ 的 Pickering 系列——一次發現新元素？
1896 年 Pickering 在 ζ Puppis 恆星光譜中發現一系列以 H 一半波長出現的『奇怪 Balmer』：原來是 Z=2 的 He⁺ 類氫躍遷（1/λ ∝ Z² → 除以 4）。
當初曾被認為是『氫的某 n=半整數』，最後由波耳模型證實為 He⁺——可見芮得柏公式是化學天文（天體光譜學）的原子指紋。
常見問題
為什麼我的計算值和文獻 H-α 656.28 nm 略有差？
本工具使用 R_M = R_∞/(1 + m_e/M) 的約化質量修正（核質量近似 M ≈ Z·m_p），與 NIST/CODATA 精確值（含 QED、超微細修正）差 <0.1 nm，對於教學/一般計算已足夠。
多電子原子（例如 He 中性、C、O）能用這公式嗎？
不能。公式嚴格只適用於『只有 1 個電子的類氫體系』：H、He⁺、Li²⁺、Be³⁺、C⁵⁺ ……。多電子要考慮電子間屏蔽，能階變成『量子缺陷修正』，需用 Moseley/Ritz 等更複雜公式。
n₂ 越大為什麼波長越短（能量越高）？不應該是越接近系列極限嗎？
系列極限是 n₂→∞ 時 1/n₂²→0，對應最短 λ（最大能量）——的確是 n₂ 越大 λ 越短。反之 n₂ 越接近 n₁+1（最小允許 n₂），譜線最長、能量最低（例 Balmer 系列 α(3) > β(4) > γ(5) … 的波長）。
吸收光譜和發射光譜的波長一樣嗎？
完全一樣（躍遷的能量差 |ΔE| = |E_high − E_low| 相同）。差別只是：吸收譜是黑線（白光被原子吸掉這波長），發射譜是亮線（原子從高能階回低能階放出）。
為什麼波耳模型能推導芮得柏公式？
波耳假設：① 角動量量子化 L = nℏ；② 輻射頻率 hf = ΔE。解出能階 E_n = −(me⁴)/(8ε₀²h²) · Z²/n² = −13.6·Z²/n² (eV)。取 |ΔE| = hc/λ → 兩邊除以 hc 即得芮得柏公式。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。芮得柏公式與類氫原子光譜計算參考 NIST 原子光譜數據庫（Atomic Spectra Database）及 DSE/AL 現代物理教材。