香港計算器

相對介電常數計算器

輸入電容 C、極板面積 A、極板間距 d，計算相對介電常數 εr=C·d/(ε₀·A) 與絕對介電常數 ε=εr·ε0。真空電容 C₀=8.854e-11 F → εr=1；水 εr≈80。

輸入資料

平行板電容 C（F）。1cm² 板距 1mm 真空電容 ≈0.885 pF；浸水後 ≈70.8 pF。
F
極板面積 A（m²）。10cm×10cm=0.01 m²；硬碟讀寫頭 1e-9 m²。
m²
極板間距 d（m）。平行板電容公式 C=ε0·εr·A/d。
m

計算結果

0.999979
0F/m
0F/m
0.999979

重點速覽：相對介電常數（relative permittivity，εr，又稱介電常數 dielectric constant）：物質在外加電場下極化能力的指標，定義 εr=ε/ε0=C/C₀。其中 ε 為物質的絕對介電常數（F/m），ε0=8.854187817×10⁻¹² F/m 為真空介電常數，C 為平行板電容器充滿介質時的電容，C₀=ε0·A/d 為同尺寸真空電容。由電容反算：εr=C·d/(ε0·A)。物理機制：外加電場使介質中束縛電荷位移（電子極化、離子極化、取向極化），產生反向極化電場削弱總電場，提升電容儲能能力。物質分類：(1) 真空與氣體——空氣 εr≈1.0006、氫 1.00026、CO₂ 1.00098；(2) 非極性液體——苯 2.28、四氯化碳 2.24、變壓器油 2.2；(3) 極性液體——水 80.1（25°C）、甲醇 33、乙醇 24、甘油 42；(4) 固體絕緣——聚乙烯 2.25、聚丙烯 2.2、雲母 5.4、玻璃 5-10、瓷 6-8、二氧化矽 3.9；(5) 鐵電體——鈦酸鋇 1000-10000、鈦酸鍶 2000、PZT 300-3000。溫度與頻率依賴：極性介質高頻下 εr 下降（水在 25GHz 降至 30）。經典例：1cm² 板距 1mm 真空電容 C₀=ε0·A/d=8.854e-12×0.01/0.001=8.854e-11 F，浸水後 C=εr·C₀=80×8.854e-11=7.08e-9 F。歷史：法拉第 1837 年研究介電常數；庫倫早已觀察到電荷在介質中力減弱。應用：(1) 電容器——陶瓷電容用鈦酸鋇實現高密度；(2) 微波加熱——水分子 2.45GHz 極化吸收；(3) 介電感測——土壤濕度測量；(4) 光學——折射率 n=√εr；(5) 絕緣材料——高 εr 提升電容與耐壓。

計算公式

相對介電常數：εr = ε / ε0 = C / C₀

由電容反算：εr = C·d / (ε0·A)

絕對介電常數：ε = εr · ε0

真空介電常數：ε0 = 8.854187817×10⁻¹² F/m

真空電容：C₀ = ε0·A / d

$$\varepsilon_r = \frac{\varepsilon}{\varepsilon_0} = \frac{C}{C_0} = \frac{C \cdot d}{\varepsilon_0 \cdot A}, \quad \varepsilon_0 = 8.854187817 \times 10^{-12}\ \mathrm{F/m}$$

使用說明

  1. 輸入平行板電容 C（F）、極板面積 A（m²）、極板間距 d（m）。
  2. 系統計算 εr=C·d/(ε0·A)、ε=εr·ε0、C/C₀。
  3. 常用：真空 C=8.854e-11 → εr=1；浸水 C=7.08e-9 → εr≈80。

常見物質的相對介電常數（25°C，低頻）

常見物質的相對介電常數（25°C，低頻）
物質類別εr折射率 n=√εr應用
真空—11基準
空氣(1atm)氣體1.000591.0003標準
氫氣氣體1.000261.0001氣泡室
二氧化碳氣體1.000981.0005滅火
變壓器油非極性液2.21.483絕緣
苯非極性液2.281.51溶劑
聚乙烯非極性固2.251.5電纜絕緣
雲母固體5.42.32電容介質
玻璃固體5.52.35電子封裝
二氧化矽固體3.91.97晶圓
乙醇極性液244.90溶劑
甘油極性液426.48保濕
水(25°C)極性液80.18.95微波加熱
鈦酸鋇鐵電體120034.6陶瓷電容

εr 隨溫度與頻率變化，特別是極性液體（水在 25GHz 降至約 30）。折射率 n=√εr 僅適用於非磁性物質光頻段。ε0=8.854187817×10⁻¹² F/m。

理財情境案例

陶瓷電容器微型化設計

MLCC（多層陶瓷電容）採用鈦酸鋇 εr≈1200，相比聚乙烯 εr≈2.25 提升 533 倍電容密度。

0402 封裝（0.4mm×0.2mm）內堆疊 100 層 1μm 厚介質，每層 A=8e-8 m²、d=1e-6 m → C=ε0·εr·A/d=8.854e-12×1200×8e-8/1e-6=8.5e-9 F=8.5 nF。

若改用 X7R 介質 εr≈3000，同體積可達 21 nF。智慧手機主板佈滿數百顆 MLCC，實現電源濾波與訊號耦合。

微波爐加熱原理與水分感測

微波爐 2.45GHz 頻率下水 εr≈78，極化分子劇烈振盪將電磁能轉為熱能。水比熱 4184 J/(kg·K)，100g 水 1 分鐘升溫約 35°C。

工業介電濕度計利用此原理：空氣-水混合物 εr 介於 1-80 之間，測電容變化可推算濕度，誤差 ±0.5%。

土壤濕度感測器同原理，監測農業灌溉。香港農業試驗場以此精準控制蔬菜栽培水分。

常見問題

為什麼水的介電常數高達 80？

水分子（H₂O）為強極性分子，氧端帶負電、氫端帶正電，偶極矩 1.85 D。外加電場使大量水分子整齊取向，極化電場顯著削弱總電場，故 εr≈80。但水分子取向需時間，高頻下跟不上電場變化，故 25GHz 時 εr 降至約 30，紅外光頻段更降至 1.77（對應折射率 1.33）。

εr 與折射率 n 有何關係？

電磁波在物質中速率 v=c/√εr（非磁性物質 μr≈1），折射率 n=c/v=√εr。但 εr 為靜電或低頻值，折射率對應光頻（10¹⁴ Hz），故水折射率 1.33 對應 εr≈1.77 而非低頻 80。原因是極性分子在高頻下無法跟上電場變化，極化機制只保留電子極化。

為什麼鈦酸鋇 εr 高達 1000 以上？

鈦酸鋇（BaTiO₃）為鐵電體，低於居里溫度（120°C）時鈦離子自發位移形成電疇，每個電疇有固有偶極矩。外加電場使電疇壁移動或電疇翻轉，極化量遠大於電子極化，故 εr 達 1000-10000。但 εr 非線性且隨溫度、電場變化，工程應用需考慮穩定性。

如何測量物質的介電常數？

(1) 平行板電容法——測 C 後用 εr=C·d/(ε0·A) 反算；(2) 同軸探針法——浸入液體測反射係數；(3) 諧振腔法——測頻率偏移；(4) 自由空間法——測微波透射相位；(5) 阻抗分析儀——10mHz-100MHz 頻段。液體用同軸探針最快，固體用平行板法最準，高頻用諧振腔。

電容器的 εr 越高越好嗎？

高 εr 提升電容密度，但常伴隨缺點：溫度係數大（X7R 變化 ±15%）、損耗正切大（高頻發熱）、耐壓降低、電壓係數非線性。精密電路（振盪器、濾波器）選用低 εr 穩定介質（C0G 鈦酸鎂 εr≈30，溫度係數 0）；電源去耦選用高 εr（X7R、Y5V）以縮小體積。需權衡容量、穩定性、耐壓與成本。

相關工具

參考資料

內容審核：香港計算器科學團隊。εr=C·d/(ε0·A)=C/C₀，ε0=8.854187817×10⁻¹² F/m。真空 C=8.854e-11 → εr=1；水 εr≈80；鈦酸鋇 εr≈1200。折射率 n=√εr 僅適用光頻。極性介質高頻下 εr 顯著下降。