牛頓冷卻定律計算器
輸入初始溫度 T₀、環境溫度 T_env、冷卻常數 k 與時間 t，依 T(t)=T_env+(T₀-T_env)·e^(-kt) 即時算出經過時間後的物體溫度。T₀=100°C, T_env=20°C, k=0.1/min, t=10min → T≈49.4°C, t_1/2≈415.9s。
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計算結果
重點速覽：牛頓冷卻定律（Newton's law of cooling）：在強制對流下，物體溫度隨時間的變化率與物體和環境的溫差成正比：dT/dt=-k·(T-T_env)，其中 T 為物體溫度、T_env 為環境溫度、k 為冷卻常數（1/s 或 1/min），由物體表面性質、對流係數 h、表面積 A、熱容量 C 決定：k=hA/C。解此一階常微分方程並代入初始條件 T(0)=T₀ 得：T(t)=T_env+(T₀-T_env)·e^(-kt)。當 t→∞ 時 T(t)→T_env；當 t=t_1/2=ln(2)/k 時溫差減半（半衰期）。當 (T-T_env)/(T₀-T_env)=1/e≈0.368 時 t=1/k。由艾塞克·牛頓 1701 年提出，為經驗定律。冷卻常數 k 的物理意義：單位時間內溫差衰減為原值的 e^(-k)。k=0.1/min 表示每分鐘溫差衰減約 9.5%；k=0.5/min 表示每分鐘衰減 39%。影響 k 的因素：(1) 對流係數 h——強制對流（風扇）h 大，k 大；(2) 體表面積 A 與體積 V 之比 A/V——細長物體 A/V 大，k 大，散熱快；(3) 熱容量 C=mc——比熱與質量大者 k 小，散熱慢；(4) 溫差——牛頓定律假設小溫差，大溫差時自然對流 h 與 ΔT^(1/3) 相關，定律近似失效。應用：第一，法醫學——由屍體溫度反推死亡時間（k≈0.1/hr 室內）；第二，烹飪——煮食後冷卻曲線與食品安全（危險溫度區 4-60°C）；第三，電子散熱——CPU、功率元件散熱設計；第四，熱處理——金屬淬火冷卻速率影響金相；第五，建築暖通——冷房/暖房時間常數；第六，熱交換器——流體溫度衰減長度。使用牛頓冷卻定律要注意：第一，假設 T_env 恆定（環境熱容量遠大於物體）；第二，假設強制對流或自然對流小溫差（k 為常數）；第三，忽略輻射（高溫時輻射 Q=εσA(T⁴-T_env⁴) 顯著，需修正）；第四，物性常數（h、c）不隨溫度變化。總之，本計算器讓你由初始條件快速算出末溫度，是熱對流與時間相關冷卻分析的實用工具。
計算公式
微分形式：dT/dt = -k·(T-T_env)
積分形式：T(t) = T_env + (T₀-T_env)·e^(-k·t)
冷卻常數：k = hA/C（h 為對流係數，A 為表面積，C=mc 為熱容量）
半衰期：t_1/2 = ln(2)/k ≈ 0.693/k
時間常數：τ = 1/k（溫差衰減為 1/e≈36.8%）
$$\frac{dT}{dt} = -k(T-T_{\text{env}}), \quad T(t) = T_{\text{env}} + (T_0 - T_{\text{env}})\,e^{-kt}, \quad k = \frac{hA}{C}, \quad t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k}$$使用說明
- 輸入初始溫度 T₀（°C）與環境溫度 T_env（°C）。
- 輸入冷卻常數 k（1/min）與經過時間 t（min）。
- 右側即時顯示末溫度 T(t)、k（1/s）、半衰期 t_1/2 與初始溫差。
不同冷卻常數 k 下的末溫度（T₀=100°C, T_env=20°C, t=10min）
| k (1/min) | T(10min) (°C) | t_1/2 (min) | t_1/2 (s) | 應用 |
|---|---|---|---|---|
| 0.01 | 90.4 | 69.3 | 4159 | 保溫杯 |
| 0.05 | 64.3 | 13.9 | 832 | 室內空氣 |
| 0.10 | 49.4 | 6.93 | 415.9 | 微風金屬 |
| 0.20 | 32.8 | 3.47 | 208 | 強風散熱 |
| 0.50 | 21.6 | 1.39 | 83.2 | 水冷循環 |
| 1.00 | 20.0 | 0.693 | 41.6 | 液氮淬火 |
T(t)=20+80·e^(-kt)。k 越大冷卻越快，k=1 時 10 分鐘幾乎接近環境溫度。半衰期 t_1/2=ln(2)/k 與 k 反比。實際保溫杯 k≈0.005-0.01；室內空氣 k≈0.02-0.05；強風散熱 k≈0.2-0.5。
理財情境案例
咖啡冷卻時間估算
一杯 95°C 咖啡置於 20°C 室內，室內空氣對流 k≈0.05/min。
降至 60°C（最佳飲用溫度）需 t=ln(75/40)/0.05≈13.6 min。
降至 40°C 時 t=ln(75/20)/0.05≈26.7 min。加蓋或裝入保溫杯可降低 k 至 0.005-0.01，延長保溫至 1 小時以上。
法醫學死亡時間推斷
屍體發現時 30°C，室溫 20°C，人體正常 37°C，室內屍體 k≈0.1/hr。
T(t)=20+(37-20)·e^(-0.1t)=30 → e^(-0.1t)=10/17=0.588。
t=-ln(0.588)/0.1≈5.34 hr，即死亡約 5 小時 20 分前。實際需修正衣著、體型、環境濕度等因素。
常見問題
牛頓冷卻定律適用於哪些情況？
適用於強制對流或小溫差自然對流下物體的對流散熱，且環境溫度恆定、物性常數與溫度無關。k 由對流係數 h、表面積 A、熱容量 C 決定。對大溫差自然對流（h 隨 ΔT^(1/3) 變化）、高溫輻射（Q_rad=εσA(T⁴-T_env⁴)）、相變冷卻（凝結、沸騰）需修正或使用更複雜模型。
為什麼冷卻曲線是指數衰減？
由 dT/dt=-k(T-T_env)，溫差越大散熱速率越大，形成負反饋使溫差按 e^(-kt) 衰減。初期溫差大、降溫快；後期溫差小、降溫慢，漸近 T_env 但理論上永不達到。ln(T-T_env) 對 t 為直線，斜率 -k，這也是實驗測 k 的方法（作 ln-時間圖求斜率）。
冷卻常數 k 由什麼決定？
k=hA/C，其中 h 為對流係數（自然對流 5-25、強制對流 25-250 W/(m²·K)）、A 為表面積、C=mc 為熱容量。故增大表面積（散熱片）、加強對流（風扇、水冷）、降低熱容量（小質量）均可提高 k 加快散熱。保溫杯則相反：真空夾層降低 h、雙層壁降低 A/V、降低 k 至 0.005。
如何由實驗測定冷卻常數 k？
記錄物體溫度隨時間變化，作 ln(T-T_env) 對 t 圖，斜率即為 -k。需注意：(1) 環境溫度須恆定（水浴或大空間）；(2) 物體內部溫度均勻（小畢爾數 Bi<0.1）；(3) 多次測量取平均；(4) 不同溫差下驗證 k 是否常數。也可用半衰期法：測溫差減半所需時間 t_1/2=ln(2)/k 反推。
牛頓冷卻定律與輻射散熱有何區別？
牛頓定律描述對流散熱 Q=hAΔT，與溫差成正比，指數衰減。輻射散熱 Q=εσA(T⁴-T_env⁴)，與絕對溫度四次方差成正比，高溫（>300°C）時輻射顯著。總散熱為兩者之和：dT/dt=-[hA(T-T_env)+εσA(T⁴-T_env⁴)]/C，此時不再是指數衰減，需數值積分。室溫下對流為主，高溫工業爐、太陽輻射需考慮輻射。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。T(t)=T_env+(T₀-T_env)·e^(-kt)；k=hA/C；t_1/2=ln(2)/k。T₀=100°C、T_env=20°C、k=0.1/min、t=10min → T≈49.43°C、t_1/2≈415.9s。ln(T-T_env) 對 t 直線斜率 -k 用於實驗測定。