貝茲極限計算器
輸入空氣密度、葉片面積、風速與功率係數，計算風力發電功率 P=0.5ρAv³Cp。Cp_max=16/27≈0.593。ρ=1.225, A=7854m², v=10m/s, Cp=0.4 → P≈1.92MW。
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計算結果
重點速覽：貝茲極限（Betz limit, Albert Betz 1919）：風力渦輪機從風中提取的最大功率比例 Cp_max=16/27≈0.5926（59.3%）。推導：風通過葉片面積 A 後減速，但不可停止（否則後續風無路）。設入口風速 v1、出口 v2，功率 P=½ṁ(v1²-v2²)=½ρA·v1·(1+v2/v1)·(1-(v2/v1)²)。令 x=v2/v1，P∝x(1+x)(1-x²)，求最大值 dP/dx=0 得 x=1/3，此時 Cp=16(1/3)(1+1/3)(1-1/9)/27·27=16/27。物理：風必須能流過葉片後方，否則堵住後續風。故不能 100% 提取。歷史：Betz 1919 年推導（德國）；獨立由 Lanchester（英國）與 Joukowski（俄國）得到相同結論。經典例：ρ=1.225 kg/m³、A=π·50²=7854 m²、v=10 m/s、Cp=0.4 → P=0.5·1.225·7854·1000·0.4≈1.92 MW；Cp_max=16/27 → P_max≈2.85 MW。應用：(1) 風力發電廠選址；(2) 風機葉片設計；(3) 離岸風電；(4) 可再生能源評估；(5) 建築微型風電。
計算公式
風功率：P = 0.5·ρ·A·v³·Cp
貝茲極限：Cp_max = 16/27 ≈ 0.5926
貝茲效率：η = Cp / Cp_max
最大功率：P_max = 0.5·ρ·A·v³·(16/27)
風功率密度：w = 0.5·ρ·v³
$$P = \frac{1}{2} \rho A v^3 C_p, \quad C_{p,max} = \frac{16}{27} \approx 0.5926, \quad \eta = \frac{C_p}{C_{p,max}}$$使用說明
- 輸入空氣密度 ρ（kg/m³，海平面 1.225）。
- 輸入葉片面積 A（m²，A=πr²）。
- 輸入風速 v（m/s）。
- 輸入功率係數 Cp（0-0.593）。
- 系統計算 P、貝茲效率、最大功率。
風機功率範例（ρ=1.225, Cp=0.4）
| 直徑 (m) | A (m²) | v (m/s) | P (kW) | P_max (kW) |
|---|---|---|---|---|
| 10 | 78.5 | 5 | 2.4 | 3.6 |
| 50 | 1963 | 8 | 61.5 | 91.0 |
| 100 | 7854 | 10 | 1924 | 2852 |
| 150 | 17671 | 12 | 9321 | 13801 |
| 220 | 38013 | 14 | 31994 | 47387 |
P=0.5ρAv³Cp。海上風機直徑達 220m、功率 15MW。功率 ∝ v³∝D²，故提高風速與增大直徑雙重效應。
理財情境案例
海上風電優勢
海上風速穩定且高（10-12 m/s vs 陸地 6-8 m/s），功率 ∝ v³ 故高 4-6 倍。
直徑可達 220m（陸地 80m 受運輸限制），面積 38000 m²。功率 15MW。
香港海上風電潛力：南部海域平均風速 7-8 m/s，水深適合固定式基礎（<50m）。離岸 10-30km 視覺影響小。丹麥、英國已建大規模海上風電場，成本降至 0.04 USD/kWh。
風機設計 Cp 優化
三葉片水平軸風機 Cp≈0.45，接近貝茲極限 0.593。葉尖速比 λ=ωR/v=7（最佳）。
葉片用 NACA 翼型，升力驅動。變槳距控制：低風速調至最佳攻角，高風速順槳減載保護。
功率曲線：切入 3 m/s、額定 12 m/s、切出 25 m/s。超額定時順槳保持額定功率。現代直驅永磁同步發電機效率 95%+。齒輪箱式 3-4 級增速。
常見問題
為什麼不能 100% 提取風能？
若 100% 提取，風速在葉片後為 0，後續風無路通過，等於堵住。故風必須有一定後流速度。數學：最大功率在 v2/v1=1/3，此時 Cp=16/27=59.3%。貝茲 1919 推導。低於此極限證明風機效率。實際 Cp 受葉片設計、損失限制，最佳 0.45-0.48。
為什麼三葉片最常見？
葉片數影響葉尖速比與效率。三葉片最佳葉尖速比 λ=7，Cp≈0.45。二葉片 λ=6，效率略低，但材料省；單葉片 λ=3，效率差。四葉片以上 Cp 增加微小，但成本、阻力、噪音增加。三葉片平衡效率、成本、噪音、機械穩定性。垂直軸（達里厄）效率低於水平軸。
為什麼海上風機更大？
海上運輸用船，不受公路隧道限制，葉片可達 107m（陸地 60m 限運）。風速高且穩定，無地形障礙。距岸遠視覺影響小。固定基礎（水深 <50m）或浮式基礎（>50m）。2024 最大型 GE Haliade-X 14MW、直徑 220m。西門子 Gamesa 14-222 DD。
風速加倍為什麼功率 ×8？
功率 P∝v³。原因：單位時間通過葉片的空氣體積 ∝v（風速快，更多空氣通過），動能∝v²（速度平方），兩者乘積 v·v²=v³。故風速 10→20 m/s 功率 ×8。額定風速以上需順槳限制功率（防止超載）。
風電成本如何？
陸上風電 LCOE（平準化成本）0.03-0.05 USD/kWh，已低於燃煤天然氣。海上 0.06-0.10，隨規模下降。投資：風機 30%、基礎 20%、電纜 15%、安裝 15%、運維 15%。設計壽命 20-25 年。容量係數（實際/額定）：陸地 30-40%，海上 40-55%。中國 2024 風電裝機 441GW，全球第一。
相關工具
參考資料
內容審核：香港計算器科學團隊。P=0.5ρAv³Cp、Cp_max=16/27≈0.593。Betz 1919。海上風機直徑 220m、15MW。功率∝v³∝D²。現代 Cp=0.4-0.45。切入 3 m/s、額定 12、切出 25。