波耳模型能階計算器

重點速覽：波耳模型（Bohr model）由丹麥物理學家尼爾斯·波耳（Niels Bohr）於 1913 年提出，是原子結構理論的重要里程碑。它成功解釋了氫原子光譜的規律，並首次引入『能量量子化』的概念——電子只能存在於某些特定的、不連續的能量狀態（能階），而不能取任意能量。波耳模型假設：電子在原子核外沿特定的圓形軌道運動，每條軌道對應一個確定的能量；電子在軌道上運動時不輻射能量（穩定態）；只有當電子在不同能階之間躍遷時，才吸收或放出能量等於兩能階之差的光子。對『類氫原子』（只有一個電子的原子或離子，如 H、He⁺、Li²⁺）而言，第 n 個能階的能量為：Eₙ = −13.6 · Z² / n²（單位為電子伏特 eV），其中 13.6 eV 是氫原子的基態電離能（Rydberg 能量）、Z 是核電荷數（質子數）、n 是主量子數（principal quantum number，取正整數 1, 2, 3, …）。能量前的負號非常重要：它表示電子被原子核『束縛』——能量為負代表電子處於束縛態，數值越負（越低）表示束縛越緊、越穩定。能量的零點定義在電子完全脫離原子核（n → ∞）時。以本工具預設為例：氫原子（Z = 1）的基態（n = 1）能量 E₁ = −13.6 × 1² / 1² = −13.6 eV，這是氫原子最穩定的狀態；第一激發態（n = 2）能量 E₂ = −13.6 × 1² / 2² = −3.4 eV。由此可算出電子從 n=2 躍遷回 n=1 時放出的光子能量 = E₂ − E₁ = −3.4 − (−13.6) = 10.2 eV（對應萊曼系的紫外光譜線）。波耳模型的公式揭示兩個規律：第一，能階隨 n 增大而升高（越接近 0），且能階間距越來越小（能階密集）。第二，核電荷 Z 越大（束縛越強），能階越低（越負），因此 He⁺、Li²⁺ 等類氫離子的能階比氫原子更深。波耳模型的應用與意義：第一，計算類氫原子的能階與電離能（把電子從某能階移到無窮遠所需能量）。第二，解釋原子光譜線（萊曼系、巴耳末系、帕申系等）——譜線頻率對應能階差。第三，估算電子躍遷放出／吸收的光子能量與波長。第四，作為理解量子力學（薛丁格方程更精確的處理）的入門橋梁。使用波耳模型要注意：第一，它嚴格成立於『類氫原子』（單電子系統）；對多電子原子只能作定性參考，因為電子間排斥使情況複雜。第二，主量子數 n 必須是正整數（1, 2, 3, …），n=1 為基態。第三，能量單位這裡用 eV（電子伏特）；1 eV ≈ 1.602×10⁻¹⁹ J。第四，能量為負是束縛態的標誌，不要誤以為算錯。第五，本計算器核電荷數取非負值、主量子數須為正。總之，本計算器讓你由核電荷數與主量子數，快速算出類氫原子電子的量子化能階，是理解原子結構、原子光譜與量子化概念的實用工具。